2016　大分大学　前期MathJax

【１】　$a$を$0$でない実数とする．$2$つの放物線$y=x^2\text{，}y=-x^2+2ax+{\displaystyle \frac{1}{2a^2}}$がある．

(1)　$2$つの放物線は異なる$2$点で交わることを示しなさい．

(2)　$2$つの放物線の交点の$x$座標を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とするとき，$\beta -\alpha$を$a$の式で表しなさい．

(3)　$2$つの放物線で囲まれた部分の面積$S$を$a$の式で表しなさい．

(4)　(3)で定めた面積$S$の最小値を求めなさい．

【２】　初項$3$の数列$\{a_n\}$がある．$b_n=a_{n+1}-3a_n$とするとき，数列$\{b_n\}$は初項$6\text{，}$公比$3$の等比数列である．

(1)　$c_n={\displaystyle \frac{a_n}{3^n}}$とするとき，$c_{n+1}-c_n$を求めなさい．

(2)　$a_n$を$n$の式で表しなさい．

(3)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とするとき，$S_n$を$n$の式で表しなさい．

【３】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$つの箱がある．箱$\mathrm{A}$には，赤玉が$1$個，青玉が$4$個，黄玉が$5$個入っている．箱$\mathrm{B}$には，当たりくじが$3$本，はずれくじが$7$本入っている．

　箱$\mathrm{A}$から玉を$1$つ取り出し，それが赤玉のときは箱$\mathrm{B}$からくじを$5$本，青玉のときは$3$本，黄玉のときは$2$本引くとする．

(1)　青玉を取り出し，当たりくじを少なくとも$1$本引く確率を求めなさい．

(2)　当たりくじを少なくとも$1$本引く確率を求めなさい．

(3)　当たりくじをちょうど$1$本引く確率を求めなさい．

【４】　大きさ$1$のベクトル$\overrightarrow{a}$と，$\overrightarrow{0}$でないベクトル$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とする．

(1)　$|3\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$が最小となるような実数$t$の値を$\left|\overrightarrow{b}\right|\text{，}$$\theta$を用いて表しなさい．

(2)　$|3\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$は$t=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき最小値$2\sqrt{2}$をとる．$\left|\overrightarrow{b}\right|$および$\cos \theta$の値を求めなさい．

【４】　$2$つの曲線$y=x+2\cos x({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}\pi )$と$y=x-2\cos x({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}\pi )$をつないでできる曲線を$C$とする．

(1)　曲線$C$の概形を図示しなさい．

(2)　$k$を実数とする．曲線$C$と直線$y=k$が異なる$2$点で交わるための$k$の値の範囲を求めなさい．

(3)　曲線$C$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めなさい．

【１】　$0$でない実数$r$が$\left|r\right|<1$のとき，以下の問いに答えなさい．ただし，自然数$n$に対して$\underset{n\to \infty }{\lim }n{r}^n=0\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }n(n-1)r^n=0$である．

(1)　$R_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{r}^k$と$S_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n}k{r}^{k-1}$を求めなさい．

(2)　$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}k(k-1)r^{k-2}$を求めなさい．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }}{k}^2{r}^k$を求めなさい．

【２】　自然数$n$に対して関数$y=2nx-x^2$のグラフと$x$軸で囲まれた領域（境界を含む）$R_n$を考える．以下の問いに答えなさい．

(1)　領域$R_n$に含まれる格子点（$x$座標と$y$座標がともに整数である点）の数$S_n$を求めなさい．

(2)　点$\mathrm{A}(0,0)\text{，}\mathrm{B}(2n,0)\text{，}$および関数$y$の頂点を結ぶ線分で囲まれた領域（境界を含む）に含まれる格子点の数$T_n$を求めなさい．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{T_n}{S_n}}$を求めなさい．

【３】　中心が原点$\mathrm{O}$で半径が$a$の定円$C_1$上を，半径${\displaystyle \frac{a}{4}}$の円$C_2$が内接しながらすべることなく回転する．円$C_2$上の点$\mathrm{P}$は最初に点$\mathrm{A}(a,0)$にあるとする．円$C_2$の中心を$\mathrm{B}$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$\angle \mathrm{AOB}=\theta$とする．$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$を$a\text{，}\theta$で表しなさい．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$a\text{，}\theta$で表しなさい．

(3)　$0\leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，動点$\mathrm{P}$が移動する距離を求めなさい．