2016　宮崎大学　前期MathJax

【１】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{C}=90\mathrm{°}\text{，}\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=5:4$とする．辺$\mathrm{BC}$の点$\mathrm{C}$側の延長上に，$\mathrm{CA}=\mathrm{CD}$となる点$\mathrm{D}$をとる．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{E}$とし，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{AD}$に下ろした垂線を$\mathrm{BF}$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\mathrm{EF}=\mathrm{EC}$を示せ．

(2)　面積比$▵\mathrm{ABC}:▵\mathrm{CEF}$を求めよ．

【２】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は，赤球$2$個と白球$1$個が入った袋をそれぞれ$1$つずつ持っている．次のような試行を考える．

　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．

このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．

(2)　上の試行を$3$回繰り返したとき，$3$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を求めよ．

(3)　上の試行を$4$回繰り返したとき，$4$回の試行の中のどこかで，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが$2$回続けて起こり，かつ$3$回以上続けて起こらない確率を求めよ．

【３】　関数$f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+2|x+1|+1$に対し，座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．点$\mathrm{P}(t,f(t))\text{（}t>-1\text{）}$における曲線$C$の接線に垂直で，点$\mathrm{P}$を通る直線を$l$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　直線$l$の方程式を，$t$を用いて表せ．

(2)　直線$l$が点$(-1,f(-1))$を通るとき，$t$の中で最も小さいものを求めよ．

(3)　(2)で求めた$t$が定める直線$l$と曲線$C$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)　次の関数を微分せよ．

$\begin{array}{ll}\text{(a)}y={\displaystyle \frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}}& \text{(b)}y=\log \sqrt{{\displaystyle \frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}-x}}}\end{array}$

【１】　次の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(2)　次の定積分の値を求めよ．

$\begin{array}{ll}\text{(a)}{\displaystyle {\int }_0^2}|e^x-2|dx& \text{(b)}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}}x{\sin }^2(2x)dx\\ \text{(c)}{\displaystyle {\int }_1^e}{\displaystyle \frac{\sqrt{1+\log x}}{x}}dx& \text{(d)}{\displaystyle {\int }_2^4}{\displaystyle \frac{2x^3+x^2-2x+2}{x^4+x^2-2}}dx\end{array}$

【３】　$2$以上の自然数$n$と自然数$a$について，和

$1\cdot (1+a)+2\cdot (2+a)+\cdots +(n-1)\cdot (\{(n-1)+a\}$

を$S$とおく．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$6$と$n$が互いに素であるとき，すべての自然数$a$に対して，$S$は$n$で割り切れることを示せ．

(2)　$n$を$6$で割った余りが$2$であるとき，すべての奇数$a$に対して，$S$は$n$で割り切れることを示せ．

(3)　$n$を$6$で割った余りが$3$であるとき，すべての自然数$a$に対して，$S$を$n$で割った余りを，$n$を用いて表せ．ただし，求める余りは，$0$以上$n-1$以下の範囲で求めよ．

【４】　$r>0$とするとき，関数$f_n(x)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を

$f_1(x)=e^{-rx}\text{，}$

$f_{n+1}(x)=nr{e}^{-(n+1)rx}{\displaystyle {\int }_0^x}{f}_n(t)e^{(n+1)rt}dt\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　関数$f_2(x)\text{，}{f}_3(x)$を求めよ．

(2)　関数$f_n(x)$を推測し，その推測が正しいことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．

(3)　$n\geqq 3\text{，}x>0$のとき，関数$f_n(x)$の極値を求めよ．

【５】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は，赤球$2$個と白球$1$個が入った袋をそれぞれ$1$つずつ持っている．次のような試行を考える．

　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．

上の試行を$n\text{（}n\geqq 2\text{）}$回繰り返したとき，$n$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を$P_n$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．

(2)　$P_2\text{，}{P}_3$を求めよ．

(3)　$n\geqq 4$のとき，

$P_n={\displaystyle \frac{4}{9}}{P}_{n-1}+{\displaystyle \frac{20}{81}}{P}_{n-2}+{\displaystyle \frac{5\cdot 4^{n-1}}{9^n}}$

が成り立つことを示せ．

【２】　複素数$z$の方程式$z^3+i=z^2+iz$（$i$は凶数単位）の$3$つの解を，その偏角$\theta$（ただし，$0\leqq \theta <2\pi$）の小さい順に$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$とする．複素数平面上で，$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$を表す点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とし，直線$\mathrm{AC}$に関して$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{D}\text{，}$直線$\mathrm{AB}$に関して$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{E}$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$を$x+yi$（$x\text{，}y$は実数）の形で表せ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(3)　複素数平面上で，$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$を通る円周上のどの複素数$z$も，$z\bar{z}+sz+t\bar{z}+u=0$を満たすような複素数の定数$s\text{，}t\text{，}u$を求めよ．

【３】　$y>0$とするとき，不等式

$y^{\frac{2}{x}}+y^{-\frac{2}{x}}-6(y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}})+10\leqq 0$

について，次の各問に答えよ．

(1)　$X=y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}}$とするとき，この不等式を，$X$を用いて表せ．

(2)　この不等式を満たす点$(x,y)$の全体が表す図形を座標平面上に図示せよ．

【２】　一辺の長さ$1$の正五角形$\mathrm{OABCD}$について，$\mathrm{OB}$と$\mathrm{DC}$は平行である．

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{x}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{y}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{DC}}=k\overrightarrow{b}$（$k$は実数）

とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　$k$の値を求め，$\overrightarrow{x}\text{，}\overrightarrow{y}$を，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いてそれぞれ表せ．

(2)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{x}$の内積を求めよ．

【５】　$k>0\text{，}0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．座標平面上の原点$\mathrm{O}\text{，}$点$\mathrm{A}(0,1)$に対し，第一象限の点$\mathrm{P}$を，$\angle \mathrm{AOP}=\theta$を満たすように円$D\text{：}{x}^2+y^2=1$上にとり，直線$\mathrm{OP}$と直線$x=k\theta$との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\theta$を$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で動かすときの点$\mathrm{Q}$の軌跡を曲線$y=f(x)$とし，関数$y=g(x)={\displaystyle \frac{f(x)}{x}}$で定める曲線を$C$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$r(\theta )=\mathrm{OQ}$とするとき，$\underset{\theta \to +0}{\lim }r(\theta )$の値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{Q}$がつねに円$D$の内部にあるための$k$の条件を求めよ．

(3)　関数$g(x)$の増減と凹凸を調べ，曲線$C$の概形をかけ．

(4)　曲線$C$と$x$軸および$2$直線$x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}k\text{，}x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}k$とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を，$k$を用いて表せ．