2016　鹿児島大学　前期MathJax

【１】　次の各問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=6\text{，}\mathrm{BC}=5\text{，}\mathrm{BD}=3$のとき，辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(2)　自然数$n$が$6$と互いに素であるとき，$n^2-1$が$6$で割り切れることを示せ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(3)　$xy$平面で次の不等式で表される領域を図示せよ．

$\left|x\right|\leqq y\leqq 1-\left|x\right|$

【２-１】　次の各問いに答えよ．

(1)　整式$P(x)$を$0$でない整式$Q(x)$で割った余りを$R(x)$とおく．方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解は方程式$Q(x)=0$と$R(x)=0$の共通解であることを示せ．また逆に方程式$Q(x)=0$と$R(x)=0$の共通解は方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解であることを示せ．

(2)　整式$P(x)\text{，}Q(x)$を

$P(x)=x^4+2x^3+x^2-1\text{，}Q(x)=x^3+2x^2-1$

とおく．方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解をすべて求めよ．

【２-２】　関数$f(x)=\cos x-1+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$について，次の各問いに答えよ．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$および$2$次導関数$f^{″}(x)$をそれぞれ求めよ．

(2)　$x\geqq 0$において$f^{\prime }(x)\geqq 0$および$f(x)\geqq 0$が成り立つことを示せ．

(3)　$f(x)$の定積分を利用して$\sin 1\geqq {\displaystyle \frac{5}{6}}$を示せ．

【３-１】　数列$\{a_n\}$を$a_1=a_2=1\text{，}{a}_{n+2}=a_{n+1}+a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$によって定める．また$\alpha$を$\alpha =1+{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$を満たす正の実数とする．次の各問いに答えよ．

(1)　数列$\{b_n\}$を$b_n={\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}$で定める．$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

(2)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して$b_n\geqq 1$となることを示せ．

(3)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して$|b_{n+1}-\alpha |\leqq {\displaystyle \frac{1}{\alpha }}|b_n-\alpha |$となることを示せ．

(4)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して$|b_n-\alpha |\leqq {\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^n}}$となることを示せ．

【３-２】　四面体$\mathrm{OABC}$を考える．辺$\mathrm{OA}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．また辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$として，辺$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．さらに三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を通る平面と線分$\mathrm{OG}$の交点を$\mathrm{K}$とする．線分$\mathrm{OK}$と$\mathrm{KG}$の長さの比を求めよ．

【３-３】　次の各問いに答えよ．

(1)　$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma (X)$を求めよ．

【３-３】　次の各問いに答えよ．

(2)　確率変数$X$の確率密度関数が$f(x)={\displaystyle \frac{2}{25}}x\text{（}0\leqq x\leqq 5\text{）}$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．

【３-３】　次の各問いに答えよ．

(3)　$2$つの事象$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$について，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が独立なら$\bar{\mathrm{A}}$と$\mathrm{B}$も独立であることを示せ．ただし$\bar{\mathrm{A}}$は$\mathrm{A}$の余事象を表す．

【４】　関数$f(x)={(\log x)}^2-\log x\text{（}x>0\text{）}$を考える．次の各問いに答えよ．

(1)　$f(x)=0$を満たす$x$をすべて求めよ．

(2)　導関数$f^{\prime }(x)$および$2$次導関数$f^{″}(x)$をそれぞれ求めよ．また関数$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし関数$y=f(x)$の増減，凹凸，極限$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)\text{，}\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を明示すること．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【５】　次の各問いに答えよ．

(1)　複素数$z\text{，}w$について，次の関係が成立することを示せ．ただし複素数$\alpha$に対し，$\bar{\alpha }$は$\alpha$と共役な複素数を表す．

(a)　$\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w}$

(b)　$\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}$

【５】　次の各問いに答えよ．

(2)　方程式$z^2-z+1=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とする．次の各問いに答えよ．

(a)　$\alpha \text{，}\beta$を求めよ．さらにそれらを極形式で表せ．

(b)　${\alpha }^{100}+{\beta }^{100}$を求めよ．