2016　琉球大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

問１　整式$P(x)$は，$P\left({\displaystyle \frac{5}{3}}\right)={\displaystyle \frac{8}{3}}$と$P(-{\displaystyle \frac{7}{2}})=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$を満たす．$P(x)$を$6x^2+11x-35$で割った余りを求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

問２　座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(3,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,3,0)\text{，}\mathrm{C}(1,s,t)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}\text{，}$原点を$\mathrm{O}$とする．$\mathrm{OG}\perp \mathrm{AG}\text{，}\mathrm{OG}\perp \mathrm{AB}$となるときの$s$と$t$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

問３　変量$x$の値が$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3$のとき，その平均値を$\bar{x}$とする．分散$s^2$を

${\displaystyle \frac{1}{3}}\{{(x_1-\bar{x})}^2+{(x_2-\bar{x})}^2+{(x_3-\bar{x})}^2\}$

で定義するとき，$s^2=\overline{x^2}-{(\bar{x})}^2$となることを示せ．ただし，$\overline{x^2}$は${x_1}^2\text{，}{x_2}^2\text{，}{x_3}^2$の平均値を表す．

【２】　座標平面上の原点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})\text{，}\mathrm{Q}(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$の$3$点を通る放物線$y=a{x}^2+bx+c$を$C_1$とし，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C_2$とする．次の問いに答えよ．

問１　$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

問２　放物線$C_1$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた図形の面積を求めよ．

問３　放物線$C_1$と円$C_2$で囲まれた図形のうち，放物線$C_1$の上側の部分の面積を求めよ．

【１】　$i$を虚数単位とし，$z=\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$とおく．次の問いに答えよ．

問１　$z^5$および$z^4+z^3+z^2+z+1$の値を求めよ．

問２　$t=z+{\displaystyle \frac{1}{z}}$とおく．$t^2+t$の値を求めよ．

問３　$\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$の値を求めよ．

問４　半径$1$の円に内接する正五角形の$1$辺の長さの$2$乗を求めよ．

【２】　定積分${\displaystyle {\int }_a^{a+1}}|e^x-1|dx$の値を$I(a)$とする．次の問いに答えよ．

問１　$-1\leqq a\leqq 0$のとき，$I(a)$を$a$で表せ．

問２　$a$が実数全体を動くとき，$I(a)$を最小にするような$a$の値を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

問１　自然数$n$に対して${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}}}{\displaystyle \frac{1}{x}}dx$を求めよ．

問２　$x>0$のとき，不等式$x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}<\log (1+x)<x$が成り立つことを示せ．

問３　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}}}{\displaystyle \frac{1}{x+\log (1+x)}}dx$を求めよ．

【４】　$N$を$3$以上の自然数とする．

　$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた$N$枚のカードを袋に入れ，「無作為に$1$枚カードを取り出し，そのカードを袋に戻さずに次のカードを取り出す」という作業を$3$枚のカードを取り出すまで繰り返す．取り出された$3$枚のカードに書かれた数の最大値を$X$とする．

　また，$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた$N$枚のカードを袋に入れ，「無作為に$1$枚カードを取り出してはそれに書かれた数を記録し，袋に戻す」という作業を$3$回行い，記録された数の最大値を$Y$とする．

　$n$を$N$以下の自然数とする．$X=n$となる確率を$p_n$とし，$Y=n$となる確率を$q_n$とする．

　次の問いに答えよ．

問１　$p_3\text{，}{q}_1\text{，}{q}_2\text{，}{q}_3$を求めよ．

問２　$p_n$と$q_n$を求めよ．