2016　琉球大学　後期理学部MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

問１　条件$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$かつ$x^2+y^2=1$のもとで，$u=x+y$の値の範囲を求めよ．

問２　$u=x+y\text{，}v=xy$とする．条件$x^2+y^2=1$のもとで，$u$と$v$の満たす関係式を求めよ．

問３　条件$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$かつ$x^2+y^2=1$のもとで，$z=x+y+2xy$の値の範囲を求めよ．

【２】　$i$を虚数単位とする．複素数$z$が等式$|z-i|=|2z+i|$を満たすとき，次の問いに答えよ．

問１　複素数平面上で，この等式を満たす点$z$全体の表す図形を求めよ．

問２　$iz=2+i$の偏角$\theta$の範囲を求めよ．ただし$0\leqq \theta <2\pi$とする．

【３】　次の問いに答えよ．

問１　原点$(0,0)$を通り，曲線$y={\displaystyle \frac{\log x}{x^2}}$に接する直線の方程式を求めよ．

問２　曲線$y={\displaystyle \frac{\log x}{x^2}}$と問１で求めた直線および$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　$10$進法表記で$1$から$2016$までの自然数の集合を$\mathrm{M}$とする．次の問いに答えよ．

問１　$2$進法で表しても，$3$進法で表しても，$5$進法で表しても$1$の位が$0$となる$\mathrm{M}$の元の個数はいくつか．

問２　$2$進法，$3$進法，$5$進法で表したとき，そのうち$2$つは$1$の位が$0$で，他の$1$つは$1$の位が$0$ではないような$\mathrm{M}$の元の個数はいくつか．

問３　$2$進法，$3$進法，$5$進法で表したとき，そのうち$1$つのみ$1$の位が$0$で，他の$2$つは$1$の位が$0$ではないような$\mathrm{M}$の元の個数はいくつか．