2016　札幌医科大学　前期MathJax

【１】　次の問に答えよ．

(1)　空間上の$3$点を$\mathrm{A}(0,1,3)\text{，}\mathrm{B}(-1,3,2)\text{，}\mathrm{C}(1,2,-1)$とする．この$3$点を通る平面上に$\mathrm{D}(a,b,-1)$があるとき，$a$と$b$の関係式を求めよ．

【１】　次の問に答えよ．

(2)　数列$\{a_n\}$は

$a_1=a>0\text{，}{a}_{n+1}=16{a_n}^3\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすものとする．

(ⅰ)　数列$\{b_n\}$を$b_n={\log }_2{a}_n$とするとき，$\{b_n\}$の一般項を$a$と$n$を用いて表せ．

(ⅱ)　数列$\{a_n\}$の一般項を$a$と$n$を用いて表せ．

(ⅲ)　すべての$n$について$a_n=a$をみたすような$a$の値を求めよ．

【１】　次の問に答えよ．

(3)　複素数平面において，等式$2|z-4|=3|z-3i|$をみたす点$z$の全体はどのような図形を表すか．ただし$i$は虚数単位とする．

【２】　原点$\mathrm{O}$の座標平面上で点$\mathrm{A}(a,0)$が与えられている．ただし$0<a<1$とする．また，点$\mathrm{P}$は曲線$x^2+y^2=1\text{（}y>0\text{）}$上を以下の条件をみたしながら動くものとする．

(条件)　三角形$\mathrm{OAP}$の外心$\mathrm{Q}$は$x^2+y^2\leqq 1$をみたす領域内にある．

点$\mathrm{Q}$の$y$座標を$q$とする．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)　$q$の取りうる範囲を$a$を用いて表せ．

(2)　$q$が最大となるときの点$\mathrm{P}$の座標を$a$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$が条件をみたしながら動くとき，三角形$\mathrm{OAP}$が通過する領域の面積を$a$を用いて表せ．

【３】　$2$種類の文字「$\mathrm{A}$」，「$\mathrm{B}$」を$1$つずつ左から右に書いていく．書かれる文字が$\mathrm{A}$か$\mathrm{B}$かは確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で決まるものとする．しかし，次の$2$つのルールにより文字が消去されることがある：

1.　右端の$\mathrm{A}$の右隣に$\mathrm{B}$が書かれる場合，その$\mathrm{B}$は確率${\displaystyle \frac{2}{3}}$で消去される

2.　右端の$\mathrm{B}$の左側に$\mathrm{A}$が$1$つ以上存在する場合，それらのうちでもっとも右にある$\mathrm{A}$を$\mathrm{Ⓐ}$と呼ぶ．この状況で，右端の$\mathrm{B}$の右端に$\mathrm{A}$が書かれる場合，確率${\displaystyle \frac{2}{3}}$でその$\mathrm{A}$と$\mathrm{Ⓐ}$より右側のすべての文字が消去される（ただし$\mathrm{Ⓐ}$は消去されない）．

上記 つのルールにあてはまらない場合は，消去される文字はないものとする．$n$文字を書いたときに，実際に残っている文字数を$a_n$とする．

例えば，$3$文字を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{A}$の順に書いた場合の結果は「$\mathrm{ABA}$」，「$\mathrm{AA}$」，「$\mathrm{A}$」のいずれかとなる．

(1)　$a_3=2$となる確率を求めよ．

(2)　$a_4=1$となる確率を求めよ．

(3)　$a_n=n$となる確率を$n$を用いて表せ．

【４】　関数$f(x)=x+2\cos x$を$0\leqq x\leqq 2\pi$の範囲で考える．

(1)　関数$y=f(x)$の極値と変曲点を求め，グラフの概形を描け．

(2)　関数$y=f(x)$の二つの変曲点を通る直線を$l$とする．曲線$y=f(x)$と直線$l$とで囲まれる図形を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．