2016　公立はこだて未来大学　推薦MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

問１　$y=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$とおく．このとき，$x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\text{，}{x}^3+{\displaystyle \frac{1}{x^3}}$をそれぞれ$y$の多項式として表せ．

問２　方程式$x^6+x^5+x^4+x^2+x+1=0$をみたす解を複素数の範囲で求め，$a+bi$の形で表せ．ただし，$a\text{，}b$は実数，$i$は虚数単位とする．

【１】　以下の問いに答えよ．

問３　${\log }_2|x-2|+{\log }_{\frac{1}{4}}|x-4|<1$をみたす実数$x$の値の範囲を求めよ．

【２】　原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円上に$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\theta \text{，}\angle \mathrm{AOD}=\pi$となるように相異なる$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$をとる．また，$▵\mathrm{AOB}\text{，}▵\mathrm{BOC}\text{，}\angle \mathrm{COD}$の面積の和を$S$とする．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．以下の問いに答えよ．

問１　$S$を，$\sin \theta$と$\cos \theta$を用いて表せ．

問２　$t=\cos \theta$とおく．$S^2$を$t$を用いて表せ．

問３　$S$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．

【３】　$m$を整数とし，$2$次方程式$2x^2+mx+2=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とする．ただし，重解の場合は$\alpha =\beta$とみなす．以下の問いに答えよ．

問１　$\alpha$と$\beta$が異なる整数とならないことを証明せよ．

問２　$\alpha$と$\beta$がともに整数であるとき，$m$の値を求めよ．

問３　$\alpha$が整数，$\beta$が非整数であるとき，$m$の値を求めよ．