2016　青森公立大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

問題１　$(a^3+2a+7)(a^3+2a-1)-9$を因数分解せよ．

【１】　次の問いに答えよ．

問題２　変量$x$のデータの値が$2\text{，}1\text{，}4\text{，}p\text{，}3$で，分散が$10$のとき，$p$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

問題３　$n$を自然数とする．$n$が$5$で割り切れないとき，$n^4-1$を$5$で割った余りを求めよ．

【２】　座標平面上の点$\mathrm{A}(0,2a)\text{，}\mathrm{B}(3a,0)\text{，}\mathrm{C}(0,-2a)\text{，}\mathrm{D}(-3a,0)$を頂点とする四角形$\mathrm{ABCD}$の各辺と，放物線$y={\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^2-{\displaystyle \frac{2}{3}}$の共有点を考える．ただし，$a$は正の定数とする．

問題１　共有点の総数が$4$個になるときの四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．

問題２　共有点の総数が最も多くなるような$a$の値の範囲を求めよ．

【３】　図のような道路を，交差点を通りながら進むものとする．各交差点において，斜め上（右上）方向，右方向，斜め下（右下）方向のいずれかに進むとする．$\mathrm{AZ}$の各交差点では，右方向もしくは斜め下（右下）方向に進む．$\mathrm{BZ}$の各交差点では，斜め上（右上）方向に進む．$\mathrm{OB}$の各交差点では斜め上（右上）方向もしくは右方向に進む．ただし，$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}\text{，}\mathrm{Z}$に到達した場合は停止する．

問題１　$\mathrm{O}$から$\mathrm{M}$に到達する経路のうち，$\mathrm{C}$を通る経路は何通りあるか．ただし，経路は最短とは限らない．

問題２　$\mathrm{O}$から$\mathrm{Z}$に到達する経路のうち，$\mathrm{C}$を通り，$\mathrm{M}$を通らない経路は何通りあるか．ただし，経路は最短とは限らない．

【４】　正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{P}$を，$\mathrm{BP}=x$となるようにとる．辺$\mathrm{CD}$上に点$\mathrm{Q}$を，$\mathrm{CQ}=3-x$となるようにとる．ただし，$0<x<3$とする．頂点$\mathrm{A}$から三角形$\mathrm{BCD}$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とする．$\mathrm{AH}=\sqrt{6}$とする．

問題１　正四面体$\mathrm{ABCD}$の一辺の長さを求めよ．

問題２　${\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{PQ}}^2+{\mathrm{QA}}^2$の値が最小となるような$x$の値を求めよ．

問題３　正四面体$\mathrm{ABCD}$に外接する球の中心を$\mathrm{O}$とする．このとき，

$\mathrm{AO}:\mathrm{OH}=3:1$

であることを示せ．