2016　宮城大学　前期MathJax

【１】　次の問１〜問３に答えなさい．

問１　不等式${\log }_2(x+3)+{\log }_2(x-1)>5$を解きなさい．

【１】　次の問１〜問３に答えなさい．

問２　$▵\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$の長さをそれぞれ$a\text{，}b$とするとき，次の正弦定理

${\displaystyle \frac{a}{\sin A}}={\displaystyle \frac{b}{\sin B}}$

が成り立つことを証明しなさい．ただし，$\angle \mathrm{B}$は鈍角とする．

【１】　次の問１〜問３に答えなさい．

問３　$a>0\text{，}b>0\text{，}ab\geqq a+b+1$のとき，

$a+b\geqq 2(1+\sqrt{2})$

となることを示しなさい．また，等号が成り立つのはどのようなときか．

【２】　次の問１，問２に答えなさい．

問１　$3$次方程式$x^3-x^2+2x+3=0$の$3$つの解を$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$とするとき，

${\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3$

の値を求めなさい．

【２】　次の問１，問２に答えなさい．

問２　次の等式を満たす関数$f(x)$を求めなさい．

$f(x)=x^2+{\displaystyle {\int }_{-1}^0}xf(t)dt+{\displaystyle {\int }_0^1}f(t)dt$

【３】　放物線$y=x^2+ax+3$のグラフを$C\text{，}$直線$y=3ax+a+1$のグラフを$l$とするとき，次の問１〜問３に答えなさい．ただし，$a$は定数とする．

問１　$x>0$で，$C$と接する直線のうち，$l$と平行な直線を$m$とするとき，$C\text{，}m\text{，}y$軸とで囲まれた部分の面積を求めなさい．

問２　$a$がすべての実数値をとって変化するとき，$C$の頂点の軌跡を求めなさい．また，そのグラフをかきなさい．

問３　$x\geqq 0$で，$C$と$l$とが異なる$2$点で交わるように，$a$の値の範囲を求めなさい．

【４】　次の表は，あるクラスの生徒$10$人に対して行った英語と国語のテストの結果である．ただし，英語の得点を変量$x\text{，}$国語の得点を変量$y$とする．

定数$x_0\text{，}{y}_0$と正の定数$c$を用いて，

$u={\displaystyle \frac{x-x_0}{c}}\text{，}v={\displaystyle \frac{y-y_0}{c}}$

とするとき，次の問１〜問３に答えなさい．

問１　$u$の平均値$\bar{u}=0$とするとき，$x_0$の値を求めなさい．

問２　$v$の分散${S_v}^2$と$y$の分散${S_y}^2$の比を$1:2$とするとき，$c$の値を求めなさい．

問３　$x$と$y$の相関係数$r_{xy}$を求めなさい．また，任意の定数$x_0\text{，}{y}_0$と正の定数$c$について，$u$と$v$の相関係数$r_{uv}$が$r_{xy}$に等しくなることを示しなさい．

【５A】　ある病原菌の感染を診断する検査で，病原菌に感染している人が陽性と判定される確率は$80\mathrm{\%}\text{，}$病原菌に感染していない人が陰性と判定される確率は$90\mathrm{\%}$である．全体の$5\mathrm{\%}$がこの病原菌に感染している集団から$1$人を選び出すとき，次の(1)，(2)に答えなさい．

(1)　選び出された$1$人が陽性と判定されたとき，この人が実際にも病原菌に感染している確率を求めなさい．

(2)　選び出された$1$人が陰性と判定されたとき，この人が実際には病原菌に感染している確率を求めなさい．

【５B】　長さ$a\text{，}b$の線分が与えられたとき，面積が$(2a^2+b^2)\pi$となる円を，定規とコンパスを用いて作図しなさい．さらに，作図した円が条件に適することを示しなさい．

【６A】　$▵\mathrm{ABC}$の外心，垂心，重心をそれぞれ$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{H}\text{，}\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の(1)〜(3)に答えなさい．

(1)　線分$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点$\mathrm{P}$の位置ベクトル$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が，

$\overrightarrow{p}={\displaystyle \frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}}$

と表せることを証明しなさい．ただし，$m\text{，}n$は自然数とする．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$で表しなさい．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$で表しなさい．さらに，$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{H}\text{，}\mathrm{G}$が一直線上にあることを示しなさい．

【６B】　次の規則１〜３に従い道路を造り，海に浮かぶ小さな島を道路で区画に分ける．例えば，右図は$2$本の道路で区画に分けられた島の様子である．ただし，海岸を破線で，道路を実線で表す．以下の(1)，(2)に答えなさい．

規則１：どの道路も海岸のある地点から島のなかを通り，海岸の別の地点に到る．

規則２：どの道路もそれ以外のすべての道路と島のなかの$1$ヶ所でそれぞれ交差する．

規則３：どの交差点でも，$2$本の道路だけが交差する．

(1)　$5$本の道路で区画に分けられた島の様子を，上の例にならって図を用いて表しなさい．

(2)　$n$本の道路で島を区画に分けたとき，区画の数を$n$を用いて表しなさい．ただし，$n\geqq 0$とする．