2016　宮城大学　後期MathJax

【１】　次の問１〜問３に答えなさい．

問１　$a^3>b^3$ならば$a>b$であることを証明しなさい．

【１】　次の問１〜問３に答えなさい．

問２　関数$f(x)=(x-3)(x-4)$の導関数を，定義に基づいて求めなさい．

【１】　次の問１〜問３に答えなさい．

問３　次の表は，変量$x\text{，}y$のデータである．四分位範囲によって，$x$と$y$の散らばりの度合いを比較しなさい．

【２】　次の問１，問２に答えなさい．

問１　$\sin 1\text{，}\sin 2\text{，}\sin 3$を値の小さい順に並べ，その理由をかきなさい．

【２】　次の問１，問２に答えなさい．

問２　直角三角形の$3$辺の長さがすべて自然数である例を$3$つかきなさい．また，直角三角形の$3$辺の長さがすべて自然数であるならば，少なくとも$1$辺の長さは$3$の倍数であることを証明しなさい．

【３】　平面上の$3$点を$\mathrm{A}(-3,0)\text{，}\mathrm{B}(3,3)\text{，}\mathrm{C}(u,v)$とし，$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$からの距離の比が$2:1$である点$\mathrm{P}$の軌跡を$G$とするとき，次の問１，問２に答えなさい．

問１　$G$の方程式を求めなさい．また，$G$と$x$軸との交点の座標を求めなさい．

問２　点$\mathrm{Q}$が$G$上を動くとき，線分$\mathrm{QC}$の中点$\mathrm{R}$の軌跡と$G$とが接するとする．このとき，点$\mathrm{C}$の軌跡の方程式を求めなさい．さらに，そのグラフをかきなさい．

【４】　次の問１，問２に答えなさい．

問１　$\tan \theta +2\leqq {\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }}$を満たす$\theta$の値の範囲を求めなさい．ただし，$0\leqq \theta \leqq \pi$とする．

問２　原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円上の動点を$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}\text{，}$単位円と$x>0$での$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，$\angle \mathrm{POH}=\theta$とする．

　$\tan \theta +2={\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }}$のとき，$▵\mathrm{OPQ}$の面積を求めなさい．ただし，$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\pi$とする．

【５A】　コンピュータやインターネットでは，文字には文字コードと呼ばれる固有の自然数が割当られている．例えば，文字$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の文字コードはそれぞれ$65\text{，}66$である．また，ある文字の文字コード$c$と鍵と呼ばれる素数$k$との積$kc$を$c$の暗号とする．次の(1)，(2)に答えなさい．

(1)　文字コード$a\text{，}b$は同じ鍵を使用して，それぞれ$329\text{，}611$という暗号となった．文字コード$a\text{，}b$及び鍵$k$を求めなさい．

(2)　(1)で求めた$a\text{，}b$を定数とする不定方程式

$ax+by=300$

の自然数解$x\text{，}y$をすべて求めなさい．

【５B】　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=a\text{，}\mathrm{BC}=b\text{，}\mathrm{CD}=c\text{，}\mathrm{DA}=d$とするとき，次の(1)，(2)に答えなさい．

(1)　$\mathrm{AC}$を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$で表しなさい．

(2)　$\mathrm{AC}\cdot \mathrm{BD}=ac+bd$が成り立つことを示しなさい．

【６A】　右の表は，ある高等学校の生徒$1000$人の英語と数学の得点の平均値と標準偏差である．英語と数学の得点分布はそれぞれ正規分布に従うものとするとき，正規分布表を用いて，次の(1)，(2)に答えなさい．

(1)　数学の得点が$85$点の生徒が全体で上位$10$番以内に入っているためには，さらに約何点多くの得点が必要であったかを求めなさい．

(2)　英語と数学の得点が共に$70$点以上の生徒は，約何人いるかを求めなさい．ただし，英語と数学の間には相関関係がないものとする．

【６B】　$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の(1)，(2)に答えなさい．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{MA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{MC}}$を求めなさい．

(2)　$▵\mathrm{OCA}$の重心を$\mathrm{G}$とし，$\mathrm{G}$から$▵\mathrm{MCA}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$で表しなさい．