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2016 会津大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】 (1)の問いに答えよ.また,(2)から(5)の空欄をうめよ.

(1) 次の計算をせよ.ただし, i は虚数単位である.

(ⅰ)  1ex 9log xdx=

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【1】 (1)の問いに答えよ.また,(2)から(5)の空欄をうめよ.

(1) 次の計算をせよ.ただし, i は虚数単位である.

(ⅱ)  limn 1n k =1n cos( k π2 n )=

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【1】 (1)の問いに答えよ.また,(2)から(5)の空欄をうめよ.

(1) 次の計算をせよ.ただし, i は虚数単位である.

(ⅲ)  ( -1+i )21 =

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【1】 (1)の問いに答えよ.また,(2)から(5)の空欄をうめよ.

(2)  1333 1147 の最大公約数は である.

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【1】 (1)の問いに答えよ.また,(2)から(5)の空欄をうめよ.

(3) 方程式 8x+ 4x= 9×2 x+9 の解は x = である.

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【1】 (1)の問いに答えよ.また,(2)から(5)の空欄をうめよ.

(4)  0x π において関数 y =2 sin2 x+2 cosx+ 1 x = のとき,最大値 をとる.

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【1】 (1)の問いに答えよ.また,(2)から(5)の空欄をうめよ.

(5)  ABC において, |AC | =6 | BC |=13 AB AC =24 であるとき, | AB |= であり, ABC の面積は である.

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【2】 袋の中に,赤玉,青玉,白玉,黒玉が 1 つずつ,全部で 4 つ入っている.この袋から玉を 1 つ取り出して,また袋に戻す試行を繰り返す.座標平面上を動く点 P がはじめ原点 O にあり,試行のたびに,次の規則に従って動くものとする.

・赤玉が出たとき, P x 軸の正の向きに 2 だけ進む.

・青玉が出たとき, P x 軸の正の向きに 1 だけ進む.

・白玉が出たとき, P y 軸の正の向きに 2 だけ進む.

・黒玉が出たとき, P y 軸の正の向きに 1 だけ進む.

このとき,以下の問いに答えよ.

(1) 試行を 3 回繰り返した結果, P が点 ( 2,1 ) にある確率を求めよ.

(2) 試行を 3 回繰り返した結果, P y 軸上にある確率を求めよ.

(3) 試行を 5 回繰り返した結果, OP=5 となる確率を求めよ.

(4) 試行を 5 回繰り返した結果, P が不等式 6 x+y 8 の表す領域にある確率を求めよ.

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【3】 関数 y = 1-x 21 +x2 のグラフと x 軸によって囲まれた部分を A とする.このとき,以下の空欄をうめよ.

(1) 等式 1 -x2 1+ x2 =a+ b 1+x 2 が, x についての恒等式となるように定数 a b を定めると, a= b= である.

(2)  A の面積は である.

(3)  A y 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積は である.

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【4】 曲線 y =e- x C とし, n を自然数とする.このとき,以下の空欄をうめよ.

(1) 曲線 C 上の点 P ( t,e -t ) における接線が x 軸と交わる点を Q とする.点 Q x 座標は である.

(2) 一般に,曲線 C 上の点 Pn が与えられたとき,この点 Pn における接線が x 軸と交わる点を Q n とし,点 Qn を通り, x 軸に垂直な直線と曲線 C の交点を Pn +1 とする. P1 ( 0,1 ) から出発して, Q 1 P2 Q 2 のように点をとる.このとき,点 Qn x 座標は である.

(3) 曲線 C 直線 Pn Qn および直線 Qn Pn +1 で囲まれた部分の面積を S n とする.このとき, Sn = である.

(4)  n= 1 Sn= である.

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【5】 平面上に平行四辺形 ABCD がある.辺 AB の中点を E とし,辺 BC CD DA それぞれを 1 :2 に内分する点を順に F G H とする.線分 EG と線分 FH の交点を I とする. AB =b AD =d とおくとき,以下の問いに答えよ.(結論に至る過程も記述すること.)

(1)  EI:IG= t:( 1-t ) とおくとき, AI b d t を用いて表せ.

(2)  HI:IF= u:( 1-u ) とおくとき, AI b d u を用いて表せ.

(3)  AI b d を用いて表せ.

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【6】  n を自然数とする.関数 f (x )= ex sinx n 次導関数 f( n) ( x) について,次の等式がなりたつことを,数学的帰納法を用いて証明せよ.

f( n) (x )=2 n2 exsin (x + nπ4 )

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