2016　福島県立医科大学　前期MathJax

【１】　次の各問いについて答えだけを書け．

(1)　空間の点$\mathrm{A}(1,-3,-2)\text{，}\mathrm{B}(-2,3,1)$について，$\mathrm{AP}=2\mathrm{BP}$を満たす点$\mathrm{P}$の全体はどのような図形になるか．

【１】　次の各問いについて答えだけを書け．

(2)　不等式${\log }_2({\log }_{4}x)+{\log }_4({\log }_{2}x)<2$を解け．

【１】　次の各問いについて答えだけを書け．

(3)　$5^{100}$を$4^3$で割ったときの余りを求めよ．

【１】　次の各問いについて答えだけを書け．

(4)　$n$を自然数とする．$\sqrt{i}\leqq j\leqq n$を満たす自然数の組$(i,j)$の個数を$n$で表せ．

【１】　次の各問いについて答えだけを書け．

(5)　複素数平面上で，$3$点$\mathrm{A}(4z)\text{，}\mathrm{B}(3z+2)\text{，}\mathrm{C}(z^3)$を頂点とする$▵\mathrm{ABC}$が正三角形となるような複素数$z$をすべて求めよ．

【１】　次の各問いについて答えだけを書け．

(6)　$f(x)=\cos x+{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}\sin (x-t)f(t)dt$を満たす関数$f(x)$を求めよ．

【２】　$b\text{（}b>1\text{）}$を実数とする．$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(0,b)$を$2$つの頂点とする正方形$\mathrm{ABCD}$が$xy$座標平面上にあり，点$\mathrm{E}(-1,0)$と点$\mathrm{C}$を結んだ直線と$y$軸の交点を$\mathrm{F}\text{，}$また，直線$\mathrm{CE}$と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{G}$とする．ただし，正方形の頂点は$\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{D}$の順に時計回りに並んでいるものとする．以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{C}$と点$\mathrm{D}$の座標をそれぞれ$b$で表わせ．

(2)　点$\mathrm{G}$の座標を$b$で表わせ．

(3)　$▵\mathrm{DFG}$の外接円の中心の座標を$b$で表わせ．

【３】　命題$\mathrm{P}$「$a\text{（}0\leqq a\leqq 2\pi \text{）}$を定数としたとき，方程式$x=\sin (x+a)$はただ$1$つの実数解をもつ」が真であるとき，方程式$x=\sin (x+a)$の解$x$を$f(a)$で表わす．以下の問いに答えよ．

(1)　命題$\mathrm{P}$が真であることを示せ．

(2)　$n=0\text{，}1\text{，}2$について，$f(n\pi )$の値を求めよ．

(3)　$0<x<2\pi$のとき，$\cos (x+f(x))<1$であることを示せ．

(4)　次の各問いに答えよ．ただし，関数$f(x)$は$0\leqq x\leqq 2\pi$で連続，$0<x<2\pi$で微分可能であると仮定してよい．

(ⅰ)　関数$\theta (x)=x+f(x)$は$0\leqq x\leqq 2\pi$において増加することを示せ．

(ⅱ)　関数$y=f(x)\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$の増減，グラフの凹凸を調べ，最大値と最小値を求めよ．

(ⅲ)　曲線$y=f(x)\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

(5)　導関数の定義と$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}=1$を利用することにより，関数$f(x)$が$0<x<2\pi$において微分可能であることを示せ．ただし，$f(x)$は$0\leqq x\leqq 2\pi$で連続であると仮定してよい．