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2016 首都大学東京 前期

人文・社会系,経営学系

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いに答えなさい.

(1) 次の式を展開しなさい.

(x+ y+z) (x 2+y 2+z 2-x y-yz -zx )

(2)  a b c 0   以上の実数とする.次の不等式が成り立つことを示しなさい.また,等号が成り立つのはどのようなときか答えなさい.

a+b+ c3 a bc 3

2016 首都大学東京 前期

人文・社会系,経営学系

易□ 並□ 難□

【2】 数直線上に 2 Q ( -1) P1 ( 12 ) をとり,線分 QP 1 3 :1 に外分する点を P2 線分 QP 2 3 :1 に外分する点を P3 とする.以下同様に n =1 2 に対し線分 QP n 3 :1 に外分する点を Pn +1 とする.また Pn の座標を a n とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  A を数直線上の Q と異なる点とする.線分 QA 3 :1 に外分する点が P1 であるとき, A の座標 a を求めなさい.

(2) すべての自然数 n に対して

an= ( 32 )n -1

が成り立つことを n に関する数学的帰納法で証明しなさい.

(3)  999<a n<9999 をみたす自然数 n をすべて求めなさい.ただし,本問では log10 2=0.3010 log10 3= 0.4771 とする.

2016 首都大学東京 前期

人文・社会系,経営学系

易□ 並□ 難□

【3】 大小 2 つのサイコロを投げて出る目の値をそれぞれ p q とし, 6 以下の自然数 n のうち条件

(n -p) (n -q) <0

をみたすものすべてをホワイトボードに書くものとする.以下の問いに答えなさい.

(1) ホワイトボードに 2 だけが書かれる確率を求めなさい.

(2) ホワイトボードに何も書かれない確率を求めなさい.

(3) ホワイトボードに書かれる自然数全体の集合を A とする.ただし,何も書かれないときは A は空集合とする. 6 以下の素数全体の集合を B とするとき, A B の部分集合となる確率を求めなさい.

2016 首都大学東京 前期

人文・社会系,経営学系

易□ 並□ 難□

【4】  θ 0 θ2 π をみたす実数とする.

f( x)= x2-( 2cos θ) x-sin2 θ+sin θ+ 12

とおくとき,以下の問いに答えなさい.

(1) 放物線 y =f( x) の頂点の座標を求めなさい.

(2) 方程式 f (x )=0 が異なる 2 つの実数解をもつような θ の範囲を求めなさい.

(3)  θ が(2)で求めた範囲を動くとき,放物線 y =f ( x) x 軸で囲まれる図形の面積を S (θ ) とする. S( θ) を最大にする θ の値と, S( θ) の最大値を求めなさい.

2016 首都大学東京 前期

経営B,都市環境,システムデザイン,健康福祉(放射線)学部

易□ 並□ 難□

【1】  a b 0 a1 0b <1 をみたす定数とする.数列 { an } を次の条件によって定める.

a1= a a n+1 = 12 ( an2 +b) n= 1 2 3

c=1- 1-b とおく.以下の問いに答えよ.

(1)  0a n1 が成り立つことを示しなさい.

(2)  an+ 1-c =1 2 (a n+c )( an- c) が成り立つことを示しなさい.

(3)  limn an= c が成り立つことを示しなさい.

2016 首都大学東京 前期

経営B,都市環境,システムデザイン,健康福祉(放射線)学部

易□ 並□ 難□

【2】  0x < π2 の範囲で定義された関数 f (x ) は次の等式をみたすとする.

f( x)= 2x- tanx+ 0π6 f( t) cost dt

以下の問いに答えなさい.

(1) 不定積分 xcos xdt を求めななさい.

(2)  f( 0) の値を求めなさい.

(3)  0x < π2 における f (x ) の最大値を求めなさい.

2016 首都大学東京 前期

経営B,都市環境,システムデザイン,健康福祉(放射線)学部

易□ 並□ 難□

【3】  a b a2> b をみたす実数であるとする.座標平面において,点 P ( a,b ) から曲線 y =x2 に引いた 2 つの接線の接点をそれぞれ Q R とする.以下の問いに答えなさい.

(1) 内積 PQ PR a b の式で表しなさい.

(2) 三角形 PQR の面積 S a b の式で表しなさい.

(3) 直線 y =2x -3 l とする.点 P l 上を動くとき,(2)の S の最小値を求めなさい.

2016 首都大学東京 前期

都市教養(数理科学)学部

易□ 並□ 難□

【1】 曲線 y =logx C で表す. 1<p <e をみたす実数 p に対し,曲線 C 上の点 P ( p,log p) における接線を l とし, l の方程式を y =ax +b とする.ただし, logx は自然対数とし, e は自然対数の底とする.以下の問いに答えなさい.

(1)  a p の式で表しなさい.

(2)  b p の式で表しなさい.

(3)  x 軸と直線 l および曲線 C で囲まれた図形 D 1 の面積を p の式で表しなさい.

(4)  x 軸と y 軸および直線 l で囲まれた図形を D 2 とする. D1 の面積と D 2 の面積が等しいとき, p の値を求めなさい.

2016 首都大学東京 前期

都市教養(数理科学)学部

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【2】  n を自然数とし,

h( x)= x-n logx

とおく.ただし, logx は自然対数とする.以下の問いに答えなさい.

(1)  x2 n のとき, h (x) 12 が成り立つことを示しなさい.ただし, h (x ) h (x ) の導関数とする.

(2)  x2 n のとき, h( x)- h( 2n) 12 (x -2n ) が成り立つことを示しなさい.

(3)  x2 n かつ x 2n -2h (2 n) のとき, h( x) 0 が成り立つことを示しなさい.

(4) (3)を利用して lim x xn-1 ex =0 が成り立つことを示しなさい.ただし, e は自然対数の底とする.

2016 首都大学東京 前期

都市教養(数理科学)学部

易□ 並□ 難□

【3】  p q r を整数とし,数列

an =pn 3+q n2+ rn n= 1 2 3

を考える.以下の問いに答えなさい.

(1)  p+q= q=0 のとき,すべての自然数 n に対し a n 6 の倍数であることを示しなさい.

(2)  q 3 の倍数でないとき, a2 -2a 1 6 の倍数ではないことを示しなさい.

(3)  a1 a 2 がともに 6 の倍数であれば,すべての自然数 n に対し a n 6 の倍数であることを示しなさい.

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