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2016-11261-0101
2016 首都大学東京 前期
人文・社会系,経営学系
易□ 並□ 難□
【1】 以下の問いに答えなさい.
(1) 次の式を展開しなさい.
(x+ y+z) ⁢(x 2+y 2+z 2-x⁢ y-y⁢z -z⁢x )
(2) a ,b , c を 0 以上の実数とする.次の不等式が成り立つことを示しなさい.また,等号が成り立つのはどのようなときか答えなさい.
a+b+ c3 ≧a⁢ b⁢c 3
2016-11261-0102
【2】 数直線上に 2 点 Q ( -1) と P1 ( 12 ) をとり,線分 QP 1 を 3 :1 に外分する点を P2 , 線分 QP 2 を 3 :1 に外分する点を P3 とする.以下同様に n =1 ,2 , ⋯ に対し線分 QP n を 3 :1 に外分する点を Pn +1 とする.また Pn の座標を a n とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) A を数直線上の Q と異なる点とする.線分 QA を 3 :1 に外分する点が P1 であるとき, A の座標 a を求めなさい.
(2) すべての自然数 n に対して
an= ( 32 )n -1
が成り立つことを n に関する数学的帰納法で証明しなさい.
(3) 999<a n<9999 をみたす自然数 n をすべて求めなさい.ただし,本問では log10⁡ 2=0.3010 , log10 ⁡3= 0.4771 とする.
2016-11261-0103
【3】 大小 2 つのサイコロを投げて出る目の値をそれぞれ p , q とし, 6 以下の自然数 n のうち条件
(n -p) ⁢(n -q) <0
をみたすものすべてをホワイトボードに書くものとする.以下の問いに答えなさい.
(1) ホワイトボードに 2 だけが書かれる確率を求めなさい.
(2) ホワイトボードに何も書かれない確率を求めなさい.
(3) ホワイトボードに書かれる自然数全体の集合を A とする.ただし,何も書かれないときは A は空集合とする. 6 以下の素数全体の集合を B とするとき, A が B の部分集合となる確率を求めなさい.
2016-11261-0104
【4】 θ は 0 ≦θ≦2⁢ π をみたす実数とする.
f⁡( x)= x2-( 2⁢cos⁡ θ)⁢ x-sin2 ⁡θ+sin ⁡θ+ 12
とおくとき,以下の問いに答えなさい.
(1) 放物線 y =f⁡( x) の頂点の座標を求めなさい.
(2) 方程式 f ⁡(x )=0 が異なる 2 つの実数解をもつような θ の範囲を求めなさい.
(3) θ が(2)で求めた範囲を動くとき,放物線 y =f ⁡( x) と x 軸で囲まれる図形の面積を S ⁡(θ ) とする. S⁡( θ) を最大にする θ の値と, S⁡( θ) の最大値を求めなさい.
2016-11261-0105
経営B,都市環境,システムデザイン,健康福祉(放射線)学部
【1】 a と b を 0 ≦a≦1 , 0≦b <1 をみたす定数とする.数列 { an } を次の条件によって定める.
a1= a ,a n+1 = 12⁢ ( an2 +b) ( n= 1, 2 ,3 , ⋯ )
c=1- 1-b とおく.以下の問いに答えよ.
(1) 0≦a n≦1 が成り立つことを示しなさい.
(2) an+ 1-c =1 2⁢ (a n+c )⁢( an- c) が成り立つことを示しなさい.
(3) limn →∞ an= c が成り立つことを示しなさい.
2016-11261-0106
【2】 0≦x < π2 の範囲で定義された関数 f ⁡(x ) は次の等式をみたすとする.
f⁡( x)= 2⁢x- tan⁡x+ ∫ 0π6 f⁡( t)⁢ cos⁡t⁢ dt
以下の問いに答えなさい.
(1) 不定積分 ∫ x⁢cos⁡ x⁢dt を求めななさい.
(2) f⁡( 0) の値を求めなさい.
(3) 0≦x < π2 における f ⁡(x ) の最大値を求めなさい.
2016-11261-0107
【3】 a と b は a2> b をみたす実数であるとする.座標平面において,点 P ( a,b ) から曲線 y =x2 に引いた 2 つの接線の接点をそれぞれ Q ,R とする.以下の問いに答えなさい.
(1) 内積 PQ→ ⋅PR→ を a と b の式で表しなさい.
(2) 三角形 PQR の面積 S を a と b の式で表しなさい.
(3) 直線 y =2⁢x -3 を l とする.点 P が l 上を動くとき,(2)の S の最小値を求めなさい.
2016-11261-0108
都市教養(数理科学)学部
【1】 曲線 y =log⁡x を C で表す. 1<p <e をみたす実数 p に対し,曲線 C 上の点 P ( p,log⁡ p) における接線を l とし, l の方程式を y =a⁢x +b とする.ただし, log⁡x は自然対数とし, e は自然対数の底とする.以下の問いに答えなさい.
(1) a を p の式で表しなさい.
(2) b を p の式で表しなさい.
(3) x 軸と直線 l および曲線 C で囲まれた図形 D 1 の面積を p の式で表しなさい.
(4) x 軸と y 軸および直線 l で囲まれた図形を D 2 とする. D1 の面積と D 2 の面積が等しいとき, p の値を求めなさい.
2016-11261-0109
【2】 n を自然数とし,
h⁡( x)= x-n⁢ log⁡x
とおく.ただし, log⁡x は自然対数とする.以下の問いに答えなさい.
(1) x≧2⁢ n のとき, h′⁡ (x) ≧ 12 が成り立つことを示しなさい.ただし, h′⁡ (x ) は h ⁡(x ) の導関数とする.
(2) x≧2 ⁢n のとき, h⁡( x)- h⁡( 2⁢n) ≧ 12⁢ (x -2⁢n ) が成り立つことを示しなさい.
(3) x≧2 ⁢n かつ x ≧2⁢n -2⁢h ⁡(2 ⁢n) のとき, h⁡( x)≧ 0 が成り立つことを示しなさい.
(4) (3)を利用して lim x→ ∞ xn-1 ex =0 が成り立つことを示しなさい.ただし, e は自然対数の底とする.
2016-11261-0110
【3】 p ,q , r を整数とし,数列
an =p⁢n 3+q⁢ n2+ r⁢n ( n= 1 ,2 , 3 ,⋯ )
を考える.以下の問いに答えなさい.
(1) p+q= q=0 のとき,すべての自然数 n に対し a n は 6 の倍数であることを示しなさい.
(2) q が 3 の倍数でないとき, a2 -2⁢a 1 は 6 の倍数ではないことを示しなさい.
(3) a1 と a 2 がともに 6 の倍数であれば,すべての自然数 n に対し a n は 6 の倍数であることを示しなさい.