2016　首都大学東京　後期MathJax

【１】　複素数平面上で，点$z$が円$|z-1-i|=1$上を動くとき，式$w=3iz+6-2i$で表される点$w$が描く図形を$C_0$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$C_0$は円であることを示しなさい．また，$C_0$の中心と半径を求めなさい．

(2)　$2$点$i$と$3+4i$は，$C_0$上の点であることを示しなさい．

(3)　$l$を$2$点$i$と$3+4i$を通る直線とする．円$C_1$は$2$点$i$と$3+4i$を通り，その中心$\alpha$は$l$に関し$C_0$の中心とは反対側にあるとする．$C_1$で囲まれた図形の面積が，$C_0$で囲まれた図形の面積の$2$倍であるとき，$\alpha$を求めなさい．

【２】　正の実数$a$に対し，$3$次関数$f(x)=x^3+2a{x}^2-4a^{2}x+10a^2$を考える．$0\leqq x\leqq 4$における$f(x)$の最小値を$g(a)$とする．$a$が正の実数全体を動くとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$g(a)$を$a$の式で表しなさい．

(2)　$g(a)$を最大にする$a$の値と，$g(a)$の最大値を求めなさい．

(3)　$g(a)\geqq -6$をみたす$a$の値の範囲を求めなさい．

【３】　$2$つの数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を次の条件によって定める．

$a_1=2\text{，}{a}_2=1\text{，}{a}_{n+2}=a_{n+1}+a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$b_1=0\text{，}{b}_n={\displaystyle \frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{5}}\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

以下の問いに答えなさい．

(1)　$b_5$の値を求めなさい．

(2)　$a_n=b_{n+1}+b_{n-1}\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを示しなさい．

(3)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{a_{n+1}}}$と$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{b_n}{b_{n+1}}}$を求めなさい．ただし，数列$\left\{{\displaystyle \frac{a_n}{a_{n+1}}}\right\}$が収束することは認めてよい．

【４】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．直線$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$はそれぞれ$\mathrm{OM}\perp \mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{CN}\perp \mathrm{AB}$をみたすとする．

$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|=4\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=5\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=8\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=5$

が成り立つとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表し，$\overrightarrow{\mathrm{CN}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表しなさい．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CN}}$の値を求めなさい．

(3)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$によって定められる平面${\alpha }_1$と，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$によって定められる平面${\alpha }_2$のなす角を$\theta$$(0<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とするとき，$\cos \theta$の値を求めなさい．