2016　横浜市立大　前期医学科MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(1)　ある大学で$N$人の受験生が数学を受験した．その得点を$x_1\text{，}{x}_1\text{，}\cdots \text{，}{x}_N$とする．平均値$\bar{x}$および分散$s^2$は各々

$\bar{x}={\displaystyle \frac{x_1+x_2+\cdots +x_N}{N}}$

$s^2={\displaystyle \frac{{(x_1-\bar{x})}^2+{(x_2-\bar{x})}^2+\cdots +{(x_N-\bar{x})}^2}{N}}$

で与えられる．標準偏差$s\text{（}>0\text{）}$は

$s=\sqrt{s^2}$

となるこのとき$x$点を取った学生の偏差値は

$t=50+10\times {\displaystyle \frac{x-\bar{x}}{s}}$

で与えられる（$x\in \{x_1,x_2,\cdots ,x_N\}$）．偏差値は無単位であることに注意せよ．

　$Y$大学で$N=3n$人の学生が数学を受験し，たまたま$2n$人の学生が$a$点，残りの$n$人の学生が$b$点を取ったとしよう．簡単にするために$a<b$とする．$a$点を取った学生および$b$点を取った学生の偏差値を求めよ．$\boxed{\text{(1ｰ1)}}\text{，}\boxed{\text{(1ｰ2)}}$．

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(2)　方程式

$x^2-3y^2=13$

の整数解を求める．簡単にするために$x>0\text{，}y>0$とする．まず

$X=ax+by\text{，}Y=cx+dy$

とおく．$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を自然数として，$(X,Y)$が再び方程式

$X^2-3Y^2=13$

を満たすための組$(a,b,c,d)$を$1$つ求めよ$\boxed{\text{(2ｰ1)}}$．

　次に，解の組$(x,y)$で$x>500$となる$(x,y)$を$1$つ求めよ$\boxed{\text{(2-2)}}$．

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(3)　$n$を自然数とする．漸化式

$a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n-6n=0$

$a_1=1\text{，}{a}_2=1$

で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ$\boxed{\text{(3)}}$．

【１】　　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(4)　$n$を$-0$以上の整数とする．以下の不定積分を求めよ．

${\displaystyle \int }\{-{\displaystyle \frac{{(\log x)}^n}{x^2}}\}dx={\displaystyle \sum _{k=0}^n}\boxed{\text{(4)}}$

ただし，積分定数は書かなくてよい．

【２】　$n$枚のカードの表（おもて）面に相異なる整数値が書かれている．ただし，どのような数値が書かれているのかはあらかじめわかっていない．

　はじめにすべてのカードが裏返しでおかれている．ここから$1$枚ずつ好きなカードをめくっていき，書かれている数値が$n$枚のカードの中で最大だと思ったらめくるのをやめる$1$人ゲームを考える．$n$枚のカードをすべてめくり終えてしまった場合，つぎにめくるカードがないのでゲームは終了である．

　ゲームの勝敗は，最後にめくったカードに書かれていた数値が$n$枚のカードの中で最大であれば勝ち，そうでなければ負けとする．

　$n$未満の自然数$k$について以下の戦略$S_k$を考える：

戦略$S_k$にしたがった場合に，このゲームに勝つ確率を$P_{n,k}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$P_{3,1}$を求めよ．

(2)　$i$を$k+1$以上，$n$以下の整数とする．戦略$S_k$にしたがった場合に，ちょうど$i$枚のカードをめくって勝つ確率を求めよ．

(3)　$n$が十分に大きいとき，戦略$S_k$を使ってどのくらい勝つことが出来るのかを考えてみよう．$n$に対してどのくらいの$k$を用いるかによって勝てる確率は変わる．簡単にするため，$n=3p$の場合を考える．ただし，$p$は自然数である．このとき$k=p$として，極限値

$\underset{p\to \infty }{\lim }{P}_{n,k}$

を求めよ．

【３】　関数$y=\tan x$は，区間$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で単調増加である．したがって，この区間で逆関数を作ることが出来る．それを

$y=\varphi (x)\text{（}-\infty <x<\infty \text{）}$

と書く（この逆関数を$\mathrm{Arctan}x$と書く参考書もある）．正確を期すために，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\varphi (x)<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$としておく．以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{4\sqrt{2}}}\log {\displaystyle \frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1}}+{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}}\{\varphi (\sqrt{2}x+1)+\varphi (\sqrt{2}x-1)\}$

とおく．$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　積分

${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{x^4+1}}dx$

を求めたい．正確な値は求められないので，以下のようにする．即ち，関数$G(x)$で

${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{x^4+1}}dx=G(\sqrt{2}+1)$

となる関数を求めよ．

(3)　積分の等式

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\displaystyle \frac{x\sin x}{1+{\cos }^{4}x}}dx=\pi {\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{\sin x}{1+{\cos }^{4}x}}dx$

を示せ．

(4)　積分

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\displaystyle \frac{x\sin x}{1+{\cos }^{4}x}}dx$

を求めよ．

(注)　「$-\infty <x<\infty$」は「$x$は実数」という意味である．

【４】　以下の問いに答えよ．

(1)　ド・モアブルの定理を用いて

$\sin (7\theta )$

を$\sin \theta \text{，}\cos \theta$およびそれらの累乗で表せ．

(2)　$3$次方程式

$7x^3-35x^2+21x-1=0$

を解け．

(3)　和

${\displaystyle \frac{1}{{\tan }^2{\displaystyle \frac{\pi }{7}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{\tan }^2{\displaystyle \frac{2\pi }{7}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{\tan }^2{\displaystyle \frac{3\pi }{7}}}}$

を求めよ．