2016　岐阜薬科大学　中期MathJax

【１】　$3$次方程式$x^3+a{x}^2+bx+{\displaystyle \frac{b}{k}}=0$は$2$つの異なる整数解$p\text{，}q$をもち，$p$は重解である．ただし，$pq\ne 0$とする．また，$k$は，$k\ne 0$の整数とする．このとき，$a\text{，}b\text{，}k$の値の組をすべて求めよ．

【２】　$2$つの変量$x\text{，}y$が右表で与えられるとき，以下の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数とする．

(1)　変量$x$の平均値$m_x$と分散${s_x}^2$を求めよ．

(2)　変量$x$と変量$y$の相関係数$r$を求めよ．

(3)　$n$個の変量$x$に，平均値$2n\text{，}$分散$4n^2$からなる$n$個のデータを加えた．この$2n$個からなるデータの平均値${m^{\prime }}_x$と分散${{s^{\prime }}_x}^2$をそれぞれ求めよ．

【３】　関数$f(x)=\sqrt{3}\sin x-\cos x$および$g(x)=\sin x+\sqrt{3}\cos x$がある．以下の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq \pi$の範囲において，曲線$y={\displaystyle \frac{g(x)}{f(x)}}$のグラフをかけ．

(2)　$0\leqq x\leqq \pi$の範囲において，$2$つの曲線$y={\displaystyle \frac{g(x)}{f(x)}}$と$y={\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}$の交点の座標を求めよ．

(3)　$0\leqq x\leqq \pi$の範囲において，$2$つの曲線$y={\displaystyle \frac{g(x)}{f(x)}}$と$y={\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}\text{，}$および$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　複素数平面上で原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}\mathrm{B}(\beta )$を頂点とする$▵\mathrm{OAB}$がある．直線$\mathrm{OB}$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{C}\text{，}$直線$\mathrm{OA}$に関して点$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{D}$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，複素数$z$と共役な複素数を$\bar{z}$で表すものとする．

(1)　点$\mathrm{C}(\gamma )$とするとき，$\gamma =\overline{\left({\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}\right)}\beta$であることを示せ．

(2)　辺$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{DC}$が平行なとき，$▵\mathrm{OAB}$はどのような三角形か．

【５】　$xy$平面上の曲線$y=x^2\text{（}-3\leqq x\leqq 3\text{）}$を$y$軸のまわりに回転させて容器をつくり，この容器を水でいっぱいに満たした．$xy$平面に垂直に図のように$x$軸をとった後，高さ$y=1$にある容器上の$1$点が$xz$平面に接するまで容器を静かに傾けた．ただし，傾ける際に容器は常に$xz$平面に接するものとする．表面張力および容器の厚みを考えないとして，以下の問いに答えよ．

(1)　容器を傾ける前の容器の水の量を求めよ．

(2)　容器を傾けた後の容器に残っている水の量を求めよ．