2016 名古屋市立大 後期経済学部MathJax

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2016 名古屋市立大 後期

経済学部

易□ 並□ 難□

【1】 座標平面内の曲線 S y =x3 -2x +1 で表されるとする.曲線 S 上にある点 A x 座標が a a> 1 であるとき,曲線 S の点 A における接線を l とする.また, l は点 A 以外で曲線 S と共有点 B をもつ.次の問いに答えよ.

(1) 共有点 B の座標を求めよ.

(2) 曲線 S と直線 l で囲まれた領域の面積を求めよ.

(3) 曲線 S 上の点 C における接線が l と平行であるとき,三角形 ABC の面積を a で表せ.ただし,点 C は点 A B とは異なるとする.

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易□ 並□ 難□

【2】 等差数列 1 7 13 19 25 { an } とする.また, 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 と自然数 k k 2 個ずつ順に並ぶ数列を { bn } とする.次の問いに答えよ.

(1) 数列 { an } の一般項を求めよ.

(2) 数列 { bn } において自然数 t が初めて現れるのは第何項目であるか. t を用いて表せ.

(3) 数列 { cn } の一般項を cn= an- bn と定義する.初めて cn> 10000 となる項を第 m 項とするとき, m を求めよ.

(4) (3)で求めた m に対し,数列 { bn } の初項から第 m 項までの総和を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】 整数 12 34 について次の問いに答えよ.ただし, log10 2=0.3010 log10 3= 0.4771 とする.

(1) 何桁の数か.

(2) 一の位の数字は何か.

(3) 最高位の数字は何か.

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【4】 四面体の 4 つの頂点 O A B C をそれぞれ中心とする 4 つの球があり,半径を順に 1 1 p q とする.いずれの球も他の 3 つと互いに外接している. AOB= α BOC=β COA =γ とするとき,次の問いに答えよ.

(1) 等式 1 -cosβ =2( 1-cos α) (1- cosγ ) が成り立つことを証明せよ.

(2)  p=q のとき,四面体 OABC の体積を V とする. V p を用いて表せ.

(3) (2)の条件のもとで, V 4 つの球の体積の和より小さいことを証明せよ.

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