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2016-11491-0201
2016 名古屋市立大 後期
経済学部
易□ 並□ 難□
【1】 座標平面内の曲線 S が y =x3 -2⁢x +1 で表されるとする.曲線 S 上にある点 A の x 座標が a ( a> 1 ) であるとき,曲線 S の点 A における接線を l とする.また, l は点 A 以外で曲線 S と共有点 B をもつ.次の問いに答えよ.
(1) 共有点 B の座標を求めよ.
(2) 曲線 S と直線 l で囲まれた領域の面積を求めよ.
(3) 曲線 S 上の点 C における接線が l と平行であるとき,三角形 ABC の面積を a で表せ.ただし,点 C は点 A ,B とは異なるとする.
2016-11491-0202
【2】 等差数列 1 , 7 ,13 , 19 ,25 , ⋯ を { an } とする.また, 1 ,2 , 2 ,2 , 2 ,3 , 3 ,3 , 3 ,3 , 3 ,3 , 3 ,3 , 4 ,⋯ と自然数 k が k 2 個ずつ順に並ぶ数列を { bn } とする.次の問いに答えよ.
(1) 数列 { an } の一般項を求めよ.
(2) 数列 { bn } において自然数 t が初めて現れるのは第何項目であるか. t を用いて表せ.
(3) 数列 { cn } の一般項を cn= an- bn と定義する.初めて cn> 10000 となる項を第 m 項とするとき, m を求めよ.
(4) (3)で求めた m に対し,数列 { bn } の初項から第 m 項までの総和を求めよ.
2016-11491-0203
【3】 整数 12 34 について次の問いに答えよ.ただし, log10 ⁡2=0.3010 , log10 ⁡3= 0.4771 とする.
(1) 何桁の数か.
(2) 一の位の数字は何か.
(3) 最高位の数字は何か.
2016-11491-0204
【4】 四面体の 4 つの頂点 O ,A , B ,C をそれぞれ中心とする 4 つの球があり,半径を順に 1 , 1 ,p , q とする.いずれの球も他の 3 つと互いに外接している. ∠AOB= α ,∠ BOC=β , ∠COA =γ とするとき,次の問いに答えよ.
(1) 等式 1 -cos⁡β =2⁢( 1-cos⁡ α)⁢ (1- cos⁡γ ) が成り立つことを証明せよ.
(2) p=q のとき,四面体 OABC の体積を V とする. V を p を用いて表せ.
(3) (2)の条件のもとで, V は 4 つの球の体積の和より小さいことを証明せよ.