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2016-11521-0101
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2016 滋賀県立大学 前期
工,環境科学部
易□ 並□ 難□
【1】 実数 a , b ,c は, a<b <c ,a +b+c =0 を満たしている.このとき,放物線 C :y=a ⁢x2 +b⁢x +c を考える.
(1) C は x 軸と異なる 2 点で交わることを示せ.
(2) C が x 軸から切り取る線分の長さを L とする.このとき, L2 を a , b を用いて表せ.
(3) (2)で定義した L の値の範囲を求めよ.
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【2】 n ,p , q ( p≦q ) を自然数とするとき,次の不等式が成り立つことを示せ.
(1) (1 + 1p )n ≧1+ n p
(2) ∑p= 1q log10 ⁡( 1+ np )≦ n⁢log10 ⁡( 1+q)
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【3】 1 辺の長さが 1 の正方形 OABC において, AB を p :(1 -p) に内分する点を M ,BC を ( 1-q) :q に内分する点を N とする.また, ▵OMN の面積を S とする.ただし, 0<p <1 ,0 <q< 1 である.
(1) S を p , q を用いて表せ.
(2) p= 1-q 1+q のとき, S の最小値とそれを与える q の値を求めよ.
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【4】 曲線 C :y= (log e⁡x )2 とする.
(1) 点 ( 0,3 ) から C に引いた接線の方程式をすべて求めよ.
(2) C と x 軸,および直線 x =e で囲まれた部分の面積を求めよ.