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2016-11546-0101
2016 京都府立大学 前期
生命環境(環境・情報科学科)学部
配点100点
易□ 並□ 難□
【1】 α ,β を正の無理数とする. 2 つの集合 A , B を
A={ [n⁢ α] |n =1 ,2 ,3 ,⋯ }
B={ [n⁢ β] |n =1 ,2 ,3 ,⋯ }
で定める.集合 C を A と B の共通部分とする.集合 D を A と B の和集合とする. 1 α+ 1 β= 1 のとき以下の問いに答えよ.ただし,実数 x に対して, x を越えない最大の整数を [ x] と表す.
(1) C は空集合となることを示せ.
(2) E={ n| n=1 ,2 ,3 ,⋯ ,99 } のとき, E は D の部分集合となることを示せ.
2016-11546-0102
【2】 2 つの数列 { an } ,{ bn } を
a1= 1 ,b 1=0 ,a 2=0 , b2 =1
an+ 2=2 ⁢an +1+ an ( n= 1, 2 ,3 , ⋯ )
bn+ 2=2 ⁢bn +1+ bn ( n= 1 ,2 , 3 ,⋯ )
で定める.関数 f ⁡(x )= 12+x に対し,関数 gn⁡ (x ) ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) を
g1⁡ (x) =f⁡( x)
gn+ 1⁡( x)= gn⁡ (f⁡ (x) ) ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ )
で定める.以下の問いに答えよ.
(1) an+ 2=b n+1 ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) となることを示せ.
(2) gn ⁡(0 )= an+ 2b n+2 ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ ) となることを示せ.
(3) 数列 { cn } を cn= gn⁡ (0 ) ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) で定めるとき, limn →∞ cn を求めよ.
2016-11546-0103
【3】 s を実数とする. 1<t <5 とする. O を原点とする x yz 空間内に 2 点 A ( 1,0, 0) ,P (s, t, 4t ) がある.以下の問いに答えよ.
(1) 3 点 O ,A , P は一直線上にないことを示せ.
(2) ∠OPA は鋭角であることを示せ.
(3) ▵OAP の面積の最小値を求めよ.
(4) ▵OAP の面積が最小となるとき, 3 点 O ,A , P の定める平面に垂直な単位ベクトルをすべて求めよ.
2016-11546-0104
【4】 2 つの関数を f ⁡(x )= 2 2⁢ x+ 1-x 2 ( -1 ≦x≦1 ), g⁡( x)= 2 2⁢ x とする. xy 平面上に,曲線 C :y=f ⁡(x ), 直線 l :y=g ⁡(x ) がある. C と l で囲まれた部分を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を V とする.以下の問いに答えよ.
(1) f⁡( x) の最大値と最小値を求めよ.
(2) -1≦ x≦1 のとき,不等式 | f⁡( x) |> |g⁡ (x ) | を解け.
(3) V の値を求めよ.
2016-11546-0105
生命環境(生命分子化,森林科学科)学部
(1)〜(3)で配点70点
【1】 以下の問いに答えよ.
(1) xy 平面上に 2 点 A ( -1,10 ), B (7 ,2) があり,点 P が x 軸上を動くものとする. AP+BP が最小となるとき, P の x 座標を求めよ.
2016-11546-0106
(2) n を 18 以下の自然数とする.くじが 18 本あり,そのうち 2 本が当たりくじである.この 18 本の中から n 本を同時に引くとき,当たりくじを 1 本以上含む確率が 12 より大きくなる n の最小値を求めよ.
2016-11546-0107
(3) 1 分間に 8 ⁢% の割合で個数が増えるバクテリアがある.このバクテリア 10 個が初めて 1000 個以上になるのは何分後か.ただし log10⁡ 2=0.3010 ,log 10⁡3 =0.4771 とし,答えは整数で求めよ.
2016-11546-0108
配点60点
【2】 a1 , a2 , c1 , c2 , c3 を実数とする. xyz 空間で,正四面体 OABC の座標が, O ( 0,0, 0) , A ( a1, a2, 0) , B ( 0,6, 0) , C ( c1, c2, c3 ) であり, a1> 1, c3 >0 であるとする.動点 P は, O を出発して辺 OC 上を一定の速さで動き, 2 秒かかって C に到着する.動点 Q は, P が出発してから最初の 1 秒間は B に静止しており,その後,一定の速さで辺 BA 上を動き, 1 秒かかって A に到着する.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) a1 , a2 の値を求めよ.
(2) c1 , c2 , c3 の値を求めよ.
(3) P が出発してから t 秒後( 0 ≦t≦2 )における | PQ→ | の最小値を求めよ.
2016-11546-0109
配点70点
【3】 a を 0 でない実数とする. xy 平面上に 3 つの曲線 C1: y=x2 +a4 , C2 :y= x2 ,C 3:y =-x2 +2⁢ a2⁢x -2⁢a 4+4⁢ a がある.以下の問いに答えよ.
(1) C1 に 1 本の接線を引き, C2 との交点を P ,Q とする.点 P における C 2 の接線と,点 Q における C 2 の接線との交点を R とする.点 R の軌跡 C 4 の方程式を求めよ.
(2) C3 と C 4 が 2 つの交点をもつとき, a の値の範囲を求めよ.
(3) (2)の条件を満たすとき, C3 と C 4 で囲まれた部分の面積を a の関数と考えて S ⁡(a ) とする. S⁡( a) の最大値と,そのときの a の値を求めよ.