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2016 京都府立大学 前期

生命環境(環境・情報科学科)学部

配点100点

易□ 並□ 難□

【1】  α β を正の無理数とする. 2 つの集合 A B

A={ [n α] |n =1 2 3 }

B={ [n β] |n =1 2 3 }

で定める.集合 C A B の共通部分とする.集合 D A B の和集合とする. 1 α+ 1 β= 1 のとき以下の問いに答えよ.ただし,実数 x に対して, x を越えない最大の整数を [ x] と表す.

(1)  C は空集合となることを示せ.

(2)  E={ n| n=1 2 3 99 } のとき, E D の部分集合となることを示せ.

2016 京都府立大学 前期

生命環境(環境・情報科学科)学部

配点100点

易□ 並□ 難□

【2】  2 つの数列 { an } { bn }

a1= 1 b 1=0 a 2=0 b2 =1

an+ 2=2 an +1+ an n= 1 2 3

bn+ 2=2 bn +1+ bn n= 1 2 3

で定める.関数 f (x )= 12+x に対し,関数 gn (x ) n=1 2 3

g1 (x) =f( x)

gn+ 1( x)= gn (f (x) ) n=1 2 3

で定める.以下の問いに答えよ.

(1)  an+ 2=b n+1 n=1 2 3 となることを示せ.

(2)  gn (0 )= an+ 2b n+2 n=1 2 3 となることを示せ.

(3) 数列 { cn } cn= gn (0 ) n=1 2 3 で定めるとき, limn cn を求めよ.

2016 京都府立大学 前期

生命環境(環境・情報科学科)学部

配点100点

易□ 並□ 難□

【3】  s を実数とする. 1<t <5 とする. O を原点とする x yz 空間内に 2 A ( 1,0, 0) P (s, t, 4t ) がある.以下の問いに答えよ.

(1)  3 O A P は一直線上にないことを示せ.

(2)  OPA は鋭角であることを示せ.

(3)  OAP の面積の最小値を求めよ.

(4)  OAP の面積が最小となるとき, 3 O A P の定める平面に垂直な単位ベクトルをすべて求めよ.

2016 京都府立大学 前期

生命環境(環境・情報科学科)学部

配点100点

易□ 並□ 難□

【4】  2 つの関数を f (x )= 2 2 x+ 1-x 2 -1 x1 ), g( x)= 2 2 x とする. xy 平面上に,曲線 C y=f (x ) 直線 l y=g (x ) がある. C l で囲まれた部分を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を V とする.以下の問いに答えよ.

(1)  f( x) の最大値と最小値を求めよ.

(2)  -1 x1 のとき,不等式 | f( x) |> |g (x ) | を解け.

(3)  V の値を求めよ.

2016 京都府立大学 前期

生命環境(生命分子化,森林科学科)学部

(1)〜(3)で配点70点

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いに答えよ.

(1)  xy 平面上に 2 A ( -1,10 ) B (7 ,2) があり,点 P x 軸上を動くものとする. AP+BP が最小となるとき, P x 座標を求めよ.

2016 京都府立大学 前期

生命環境(生命分子化,森林科学科)学部

(1)〜(3)で配点70点

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いに答えよ.

(2)  n 18 以下の自然数とする.くじが 18 本あり,そのうち 2 本が当たりくじである.この 18 本の中から n 本を同時に引くとき,当たりくじを 1 本以上含む確率が 12 より大きくなる n の最小値を求めよ.

2016 京都府立大学 前期

生命環境(生命分子化,森林科学科)学部

(1)〜(3)で配点70点

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いに答えよ.

(3)  1 分間に 8 % の割合で個数が増えるバクテリアがある.このバクテリア 10 個が初めて 1000 個以上になるのは何分後か.ただし log10 2=0.3010 log 103 =0.4771 とし,答えは整数で求めよ.

2016 京都府立大学 前期

生命環境(生命分子化,森林科学科)学部

配点60点

易□ 並□ 難□

【2】  a1 a2 c1 c2 c3 を実数とする. xyz 空間で,正四面体 OABC の座標が, O ( 0,0, 0) A ( a1, a2, 0) B ( 0,6, 0) C ( c1, c2, c3 ) であり, a1> 1 c3 >0 であるとする.動点 P は, O を出発して辺 OC 上を一定の速さで動き, 2 秒かかって C に到着する.動点 Q は, P が出発してから最初の 1 秒間は B に静止しており,その後,一定の速さで辺 BA 上を動き, 1 秒かかって A に到着する.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  a1 a2 の値を求めよ.

(2)  c1 c2 c3 の値を求めよ.

(3)  P が出発してから t 秒後( 0 t2 )における | PQ | の最小値を求めよ.

2016 京都府立大学 前期

生命環境(生命分子化,森林科学科)学部

配点70点

易□ 並□ 難□

【3】  a 0 でない実数とする. xy 平面上に 3 つの曲線 C1 y=x2 +a4 C2 y= x2 C 3y =-x2 +2 a2x -2a 4+4 a がある.以下の問いに答えよ.

(1)  C1 1 本の接線を引き, C2 との交点を P Q とする.点 P における C 2 の接線と,点 Q における C 2 の接線との交点を R とする.点 R の軌跡 C 4 の方程式を求めよ.

(2)  C3 C 4 2 つの交点をもつとき, a の値の範囲を求めよ.

(3) (2)の条件を満たすとき, C3 C 4 で囲まれた部分の面積を a の関数と考えて S (a ) とする. S( a) の最大値と,そのときの a の値を求めよ.

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