2016　京都府立医科大学　前期MathJax

【１】　$n$は$2$以上の整数とする．変量$x$についてのデータの値を$x_k\text{（}1\leqq k\leqq n\text{）}$とし，変量$y$についてのデータの値を$y_k\text{（}1\leqq k\leqq n\text{）}$とする．変量$z$はデータの値が$x_k{y}_k\text{（}1\leqq k\leqq n\text{）}$である変量を表す．

(1)　変量$x$と$y$の$n$個の値の組を$(x_k,y_k)\text{（}1\leqq k\leqq n\text{）}$としたときの$x$と$y$の共分散$s_{xy}$（偏差の積の平均）について

$s_{xy}=\bar{z}-\bar{x}\bar{y}$

が成り立つことを証明せよ．ここで$\bar{x}\text{，}\bar{y}\text{，}\bar{z}$はそれぞれ変量$x\text{，}y\text{，}z$についてのデータの値の平均値を表す．

　$0$以上の整数$a$と$1$以上の整数$b$に対し，$a$を$b$で割った余りを$R_b(a)$と表す．$l\text{，}m$は$2$以上$n$以下の整数とする．変量$x$と$y$の$n$個の値の組を

$(x_k,y_k)=(R_l(k-1)+1,R_m(k-1)+1)\text{（}1\leqq k\leqq n\text{）}$

としたときの$x$と$y$の相関係数を$r$とする．

(2)　$l$は$n$の約数とし，$m=n$であるとき，$r$を求めよ．

(3)　$n=l(l+1)$とし，$m=l+1$であるとき，$r$を求めよ．

【２】　$z$は$0$でない複素数とし，$\alpha ={\displaystyle \frac{3}{4}}(z+\bar{z})\text{，}\beta ={\displaystyle \frac{3}{4}}({\displaystyle \frac{1}{z}}+{\displaystyle \frac{1}{\bar{z}}})$とおく．ただし$\bar{z}$は$z$に共役な複素数である．

(1)　$\beta =0$となる$z$はどのような複素数か述べよ．

(2)　$\alpha$と$\beta$がともに自然数となる$z$をすべて求めよ．

(3)　複素数平面上において，(2)で求めた$z$に対応する点のすべてを周または内部に含む円を考え，そのような円のうち最小の面積をもつものを$C$とする．$C$の中心を表す複素数と$C$の半径を求めよ．

【３】　$a\text{，}b$を正の実数とし，媒介変数表示

$x=a\cos 2t\text{，}y=b\sin 3t(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}})$

で表される$xy$平面上の曲線を$C$とする．

(1)　実数$\theta$に対して，$\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$であることを証明せよ．

(2)　$y$を$x$を用いて表せ．

(3)　$x$の関数$y$の増減を調べ，曲線$C$の概形をかけ．

(4)　曲線$C$と$x$軸とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

【４】　$xy$平面上で$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ．すべての整数$l\text{，}m$に対し，直線$x=l$と直線$y=m$を引き，$xy$平面を格子点を頂点とする一辺の長さが$1$の正方形の集まりに分割する．その一つ一つの正方形（格子点を頂点とする$1$辺の長さが$1$の正方形）の内部を区画と呼ぶ．正の実数$k$に対して原点を通る直線$L_k\text{：}y=kx$をとり，$L_k$が通る区画について考える．ここで$L_k$が区画を通るとは，直線$L_k$と区画が共有点をもつことをいう．自然数$n$に対して，不等式$n-1<x<n$で表される$xy$平面上の領域を$D_n$とする．$D_n$に含まれ，直線$L_k$が通る区画の個数を$a_n$とおく．

　以下$k$は無理数とする．

(1)　直線$L_k$は原点以外に格子点を通らないことを証明せよ．

(2)　$k<a_n<k+2$であることを証明せよ．

(3)　$N$を自然数とするとき，極限$\underset{N\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{N}}{\displaystyle \sum _{n=1}^N}{a}_n$を求めよ．

(4)　$0<k<1$とする．自然数$N$に対し，$N$以下の自然数$n$で$a_n\geqq k+1$となる$n$の個数を$A_N$とおく．極限$\underset{N\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{A_N}{N}}$を求めよ．