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【4】 平面上で座標と座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ.すべての整数に対し,直線と直線を引き,平面を格子点を頂点とする一辺の長さがの正方形の集まりに分割する.その一つ一つの正方形(格子点を頂点とする辺の長さがの正方形)の内部を区画と呼ぶ.正の実数に対して原点を通る直線をとり,が通る区画について考える.ここでが区画を通るとは,直線と区画が共有点をもつことをいう.自然数に対して,不等式で表される平面上の領域をとする.に含まれ,直線が通る区画の個数をとおく.
以下は無理数とする.
(1) 直線は原点以外に格子点を通らないことを証明せよ.
(2) であることを証明せよ.
(3) を自然数とするとき,極限を求めよ.
(4) とする.自然数に対し,以下の自然数でとなるの個数をとおく.極限を求めよ.