2016　大阪市立大学　前期MathJax

【１】　$x\text{，}y$を整数とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$x^2+y^2$が$3$で割り切れるとき，$x$と$y$はともに$3$の倍数であることを示せ．

問２　$x^2+y^2$が$27$で割り切れるとき，$x$と$y$はともに$9$の倍数であることを示せ．

問３　$n$を正の整数とする．$x^2+y^2$が$3^{2n-1}$で割り切れるとき，$x$と$y$はともに$3^n$の倍数であることを示せ．

【２】　さいころの$6$つの面の中から$2$面を選んで赤色に塗る．残った$4$面の中から$2$面を選んで黒色に塗る．最後に残った$2$面は白色に塗る．なお，色を塗っても，さいころの目は判別できるものとする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　上のような各面への色の塗り分け方は全部で何通りあるか．

問２　赤い面が向かい合うような，各面への色の塗り分け方は何通りあるか．

問３　赤い面が隣り合うような，各面への色の塗り分け方は何通りあるか．

問４　同じ色の面がすべて隣り合うような，各面への色の塗り分け方は何通りあるか．

問５　同じ色の面がすべて向かい合うような，各面への色の塗り分け方は何通りあるか．

【３】　$a\text{，}b$は実数で，$b>0$とする．放物線$y=x^2$と直線$y=ax+b$の$2$つの交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とおく．次の問いに答えよ．

問１　銭分$\mathrm{PQ}$の長さを，$a$と$b$を用いて表せ．

問２　直線$y=ax+b$が点$(1,{\displaystyle \frac{5}{4}})$を通るときの，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を求めよ．

【４】　$4$面体$\mathrm{OABC}$は，

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=9\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=3\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=14\text{，}$

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=3\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=5$

を満たすものとする．また，直線$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{D}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直になるようにとり，実数$m$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=m\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-m)\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となるように定める．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，次の問いに答えよ．

問１　$m$の値を求めよ．

問２　$m<s<1$を満たす実数$s$に対し，辺$\mathrm{AB}$を$(1-s):s$に内分する点$\mathrm{P}$をとる．さらに，直線$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{Q}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が垂直になるようにとり，実数$t$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=t\overrightarrow{a}+(1-t)\overrightarrow{c}$となるように定める．$t$を$s$を用いて表せ．

問３　問２の$t$に対し，$0<t<1$が成り立つことを示せ．

【１】　$r$は$0<r<1$を満たす実数とする．次の問いに答えよ．ただし，$0^r=0$と定める．

問１　$a\geqq 0$のとき，$x\geqq 0$について，不等式${(a+x)}^r\leqq a^r+x^r$を示せ．

問２　$a_k\geqq 0\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$のとき，不等式${\left({\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k\right)}^r\leqq {\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a_k}^r$を示せ．

【２】　次の問いに答えよ．

問１　$0$以上の整数$n$に対し，$C_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\cos }^{n}xdx$とおくとき，$C_{n+2}={\displaystyle \frac{n+1}{n+2}}{C}_n$を示せ．ただし，${\cos }^{0}x=1$と定める．

問２　座標空間内で，連立不等式

$x^2+y^2\leqq 1\text{，}z+2x^2-x^4\leqq 1\text{，}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{，}z\geqq 0$

の表す領域の体積を求めよ．

【３】　$0<r<1$を満たす実数$r$に対して，第$1$象限内の曲線$C\text{：}{x}^r+y^r=1$を考える．曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,q)$をとり，$l$を点$\mathrm{P}$における$C$の接線とし，$l$が$x$軸および$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．次の問いに答えよ．

問１　点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標を$p\text{，}q\text{，}r$を用いて表せ．

問２　点$\mathrm{P}$を曲線$C$上のどこにとっても線分$\mathrm{AB}$の長さが同じになるような$r$の値を求めよ．

【４】　$n$を正の整数とし，$m$を$0$以上$10$以下の整数とする．袋$1$から袋$n$まで，外見では区別のつかない袋が$n$袋ある．$k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$について，袋$k$の中には，赤球が$k$個，白球が$n-k$個入っているものとする．袋を$1$つ選んだ後，その選んだ袋について次の操作を$10$回繰り返して行うことにする．

(操作)　袋から球を$1$つ取り出し，色を確認してその袋に戻す．

赤球をちょうど$m$回取り出す確率を$P_{m,n}$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$P_{m,n}$を求めよ．

問２　$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_{10,n}$を求めよ．

問３　$m=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}9$について，$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_{m,n}=\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_{m+1,n}$を示せ．