2016　大阪市立大学　後期MathJax

【１】　定数$a$を$a>0$として，曲線$C_1\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{a}}\log x$と曲線$C_2\text{：}y=e^{ax}$を考える．次の問いに答えよ．

問１　曲線$C_1$と$C_2$は直線$y=x$に関して対称であることを示せ．

問２　曲線$C_1$と直線$y=x$が接するように$a$の値を定めよ．

問３　$a$が問２で定められた値のとき，曲線$C_1\text{，}{C}_2$と$x$軸，および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　$n$を自然数とし，円周上に$2n$個の点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{2n}$を反時計回りに並ぶようにとる．どの$2$つの線分も共有点をもたないような$n$本の線分でこれらの点を結ぶことにする．このような線分の選び方の総数を$a_n$とする．たとえば，$n=2$のときは，線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4$と線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_4\text{，}{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3$の$2$通りの選び方があるので，$a_2=2$である．次の問いに答えよ．

問１　$a_3$を求めよ．

問２　$n=4$とする．線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$を含む選び方は何通りあるか．また，${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_4$を含む選び方は何通りあるか．

問３　$a_4$を求めよ．

問４　$a_5$を求めよ．

問５　$n\geqq 2$のとき，$a_n$を$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_{n-1}$を用いて表せ．

【３】　$a\text{，}b\text{，}c$を自然数とする．次の問いに答えよ．

問１　$a^3+b^3+c^3-3abc$は$a+b+c$の倍数である事を示せ．

問２　${\displaystyle \frac{1}{2}}\{{(a-b)}^2+{(b-c)}^2+{(c-a)}^2\}$は整数であることを示せ．

問３　$p$を$5$以上の素数とする．このとき，次の$2$つの条件を同時に満たす自然数$a\text{，}b\text{，}c$を$p$を用いて表せ．

(1)　$a^3+b^3+c^3-3abc=p$

(2)　$a\leqq b\leqq c$

【４】　$0<p<1\text{，}0<q<1$とする．$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{CB}$を$q:(1-q)$に内分する点$\mathrm{Q}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$の中点$\mathrm{R}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$の中点$\mathrm{S}$をとる．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．次の問いに答えよ．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{PR}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{PS}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}$および$p\text{，}q$を用いて表せ．

問２　$4$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$が同一平面上にあるとき，$q$を$p$を用いて表せ．

問３　$4$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$が同一平面上にあるとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{RS}}$を求めよ．

問４　$4$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$が同一平面上にあるとき，四角形$\mathrm{PRQS}$の面積$m$を$p$を用いて表せ．

【５】　$n$を自然数とする．次の問いに答えよ．

問１　$t\geqq 0$のとき，$t-n\sin {\displaystyle \frac{t}{n}}\geqq 0$を示せ．

問２　$t\geqq 0$のとき，$t-n\sin {\displaystyle \frac{t}{n}}-{\displaystyle \frac{t^3}{6n^2}}\leqq 0$を示せ．

問３　$a$を正の実数とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^a}n\sin {\displaystyle \frac{x^2}{n}}dx$を求めよ．

【２】　$n$を自然数とし，円周上に$2n$個の点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{2n}$を反時計回りに並ぶようにとる．どの$2$つの線分も共有点をもたないような$n$本の線分でこれらの点を結ぶことにする．このような線分の選び方の総数を$a_n$とする．たとえば，$n=2$のときは，線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4$と線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_4\text{，}{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3$の$2$通りの選び方があるので，$a_2=2$である．次の問いに答えよ．

問１　$a_3$を求めよ．

問２　$n=4$とする．線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$を含む選び方は何通りあるか．また，${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_4$を含む選び方は何通りあるか．

問３　$a_4$を求めよ．

問４　$a_5$を求めよ．