2016 大阪府立大学 中期

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2016 大阪府立大学 中期

工学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【1】(1) 複素数 α = 3+i 3- i に対して,

β=α 3 γ =α+α 2+α 3+ +α100

とするとき, β γ をそれぞれ極形式で表せ.

((1),(2)については計算の過程を記入しなくてよい.)

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工学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【1】(2) 当たりくじ 5 本を含む 13 本のくじがある.このくじを, A B C D 4 人がこの順に 1 本ずつ引くとし,引いたくじはもとに戻さないとする.このとき,以下の確率を既約分数で求めよ.

(ⅰ)  4 人のうち少なくとも 1 人が当たる確率 P 1

(ⅱ)  4 人のうち少なくとも 2 人が当たる確率 P 2

(ⅲ)  4 人のうち少なくとも 1 人が当たりくじを引いたとわかっているとき, D が当たる条件付き確率 P 3

((1),(2)については計算の過程を記入しなくてよい.)

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工学部

配点50点

易□ 並□ 難□

2016年大阪府立大中期工学部【2】2016115610203の図

【2】 空間内に平行六面体 OADB CEFG があり,平行四辺形 OADB のある平面を α 平行四辺形 CEFG のある平面を β とする.また, OA =a OB =b OC =c とするとき, |a | =5 | b |=3 3 a b =15 a c= 5 b c= -3 であるとする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1) 点 C から平面 α に垂線 CH を下ろす. OH a b で表せ.

(2) 平面 β 上に点 P をとり,点 P から平面 α に垂線 PQ を下ろす.ベクトル CP を実数 s t により, CP =s a +tb と表す.このとき,点 P が三角形 CEG の内部または周上にあり,かつ,点 Q が三角形 OAB の内部または周上にあるための s t の条件を求めよ.

(3) 三角形 OAB の面積を S とする.また, s t が(2)で求めた条件を満たしながら動くとき,平面 β における点 P の存在範囲が表す図形の面積を T とする.このとき, TS を求めよ.

((1),(3)については計算の過程を記入しなくてよい.)



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工学部

配点40点

易□ 並□ 難□

【3】 数列 { an } は次の条件を満たすとする.

a1 =e a2= e2 an +2= (a n+1 ) p+1 ( an )p n=1 2 3

ただし, e は自然対数の底で, p は正の定数とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  bn= log a n+1 an とするとき, bn+ 1 b n および p を用いて表せ.

(2)  bn n p を用いて表せ.

(3)  an n p を用いて表せ.

((1),(2),(3)については計算の過程を記入しなくてよい.)

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工学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【4】  n を自然数として, x0 で定義された曲線

Cy =xe -n x

を考える.このとき,以下の問いに答えよ.ただし, limx xe -x =0 であることは証明なしに用いてよい.

(1)  x0 のとき,関数 y =xe -n x の極値,凹凸を調べて,そのグラフをかけ.

(2) 曲線 C 上の点 ( a,a e-n a ) a>0 における接線が,この点以外で曲線 C と共有点をもたないとする.このときの a の条件を求めよ.

(3) (2)の条件を満たす最大の a a n とおく.このとき,極限値

I=lim n 0an x e-n x dx 0n x e-n x dx

を求めよ.

((2)については計算の過程を記入しなくてよい.)

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工学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【5】  0<x π2 に対して,関数 f (x )

f( x)= π2x ( sinθ )log (sin θ) dθ

と定める.このとき,以下の問いに答えよ.ただし, limt +0 tlog t=0 が成り立つことは証明なしに用いてよい.

(1)  f( x) を求めよ.

(2)  limn +0 f (x ) を求めよ.