2016　大阪府立大学　中期MathJax

(1)　点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{CH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$で表せ．

(2)　平面$\beta$上に点$\mathrm{P}$をとり，点$\mathrm{P}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{PQ}$を下ろす．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を実数$s\text{，}$$t$により，$\overrightarrow{\mathrm{CP}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$と表す．このとき，点$\mathrm{P}$が三角形$\mathrm{CEG}$の内部または周上にあり，かつ，点$\mathrm{Q}$が三角形$\mathrm{OAB}$の内部または周上にあるための$s\text{，}$$t$の条件を求めよ．

(3)　三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$S$とする．また，$s\text{，}t$が(2)で求めた条件を満たしながら動くとき，平面$\beta$における点$\mathrm{P}$の存在範囲が表す図形の面積を$T$とする．このとき，${\displaystyle \frac{T}{S}}$を求めよ．

（(1)，(3)については計算の過程を記入しなくてよい．）

$a_1=e\text{，}{a}_2=e^2\text{，}{a}_{n+2}={\displaystyle \frac{{(a_{n+1})}^{p+1}}{{(a_n)}^p}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

ただし，$e$は自然対数の底で，$p$は正の定数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$b_n=\log {\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}$とするとき，$b_{n+1}$を$b_n$および$p$を用いて表せ．

(2)　$b_n$を$n$と$p$を用いて表せ．

(3)　$a_n$を$n$と$p$を用いて表せ．

（(1)，(2)，(3)については計算の過程を記入しなくてよい．）

$C\text{：}y=x{e}^{-nx}$

を考える．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }x{e}^{-x}=0$であることは証明なしに用いてよい．

(1)　$x\geqq 0$のとき，関数$y=x{e}^{-nx}$の極値，凹凸を調べて，そのグラフをかけ．

(2)　曲線$C$上の点$(a,a{e}^{-na})\text{（}a>0\text{）}$における接線が，この点以外で曲線$C$と共有点をもたないとする．このときの$a$の条件を求めよ．

(3)　(2)の条件を満たす最大の$a$を$a_n$とおく．このとき，極限値

$I=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{\displaystyle {\int }_0^{a_n}}x{e}^{-nx}dx}{{\displaystyle {\int }_0^n}x{e}^{-nx}dx}}$

を求めよ．

（(2)については計算の過程を記入しなくてよい．）

$f(x)={\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{2}}^x}(\sin \theta )\log (\sin \theta )d\theta$

と定める．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$\underset{t\to +0}{\lim }t\log t=0$が成り立つことは証明なしに用いてよい．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　$\underset{n\to +0}{\lim }f(x)$を求めよ．