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2016-11621-0201
2016 奈良県立医科大学 後期医学部
医学科
易□ 並□ 難□
【1】 xy 平面上の点で, x 座標, y 座標がともに整数である点を格子点という. xy 平面内の多角形 S に対し, S に含まれる格子点の個数を n (S ) と表す.(但し, S の辺上にある格子点も数えるものとする.)以下の多角形 S に対して, n⁡( S) を求めよ.
(1) (0 ,0) ,( 11,0 ), (0 ,10) を頂点とする三角形.
(2) a ,b は a >b を満たす正整数とし,その最大公約数を d とおく.このとき, (0 ,0) ,( 0,2⁢ b) ,( a,b) ,( a-b,0 ) を頂点とする四角形.
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【2】 実数 a に対して以下の条件(F)を考える.
*条件(F):不等式 ⌈ cos⁡x⁢ cos⁡y ⌉< a-sin⁡ x⁢sin⁡ y が任意の実数 x , y に対して成り立つ.
但し,実数 r に対して ⌈ r⌉ は r 以上の整数の中で最小のものを表す.
(1) n≧2 ならば, a は条件(F)を満たすことを証明せよ.
(2) 条件(F)を満たす実数の中で, a=2 は最小であることを証明せよ.
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【3】 k は 1 より大きい整数で, n と j は不等式 1 +j⁢( k-1) ≦n を満たす正整数である.このとき, k 個の正整数からなる数列 ( a1, a2, ⋯,a k) のうち,以下の 2 条件を両方とも満たす数列の個数を求めよ.
*条件(ⅰ): ak≦ n
*条件(ⅱ):各 i ( 1 ≦i≦k -1 ) に対して ai+1 -a i≧j
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新課程用
【4】 f⁡( x) は複素数平面全体で定義された関数であり,以下の条件(N)を満たすものとする.
*条件(N): Re⁡( f⁡( z)⁢ f⁡ (w ) )‾ )= Re⁡ (z⁢ w‾ ) が任意の複素数 z , w に対して成り立つ.
(但し,複素数 α に対して, Re⁡α は α の実部を, α‾ は α の共役複素数を表す.)
(1) 複素数 z の絶対値が 1 ならば, f⁡( z) の絶対値も 1 であることを証明せよ.
(2) 以下の等式を証明せよ.
(a) 任意の複素数 z , w に対して f ⁡(z +w) =f⁡( z)+ f⁡( w) が成り立つ.
(b) 任意の実数 r と任意の複素数 z に対して f ⁡(r ⁢z) =r⁢f ⁡( z) が成り立つ.
(3) 絶対値が 1 の複素数 α を用いて,
f⁡( z)= a⁢z または f ⁡(z )=a ⁢z‾
と表せることを証明せよ.