2016 奈良県立医科大学 後期医学科MathJax

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2016 奈良県立医科大学 後期医学部

医学科

易□ 並□ 難□

【1】  xy 平面上の点で, x 座標, y 座標がともに整数である点を格子点という. xy 平面内の多角形 S に対し, S に含まれる格子点の個数を n (S ) と表す.(但し, S の辺上にある格子点も数えるものとする.)以下の多角形 S に対して, n( S) を求めよ.

(1)  (0 ,0) ( 11,0 ) (0 ,10) を頂点とする三角形.

(2)  a b a >b を満たす正整数とし,その最大公約数を d とおく.このとき, (0 ,0) ( 0,2 b) ( a,b) ( a-b,0 ) を頂点とする四角形.

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【2】 実数 a に対して以下の条件(F)を考える.

*条件(F):不等式 cosx cosy < a-sin xsin y が任意の実数 x y に対して成り立つ.

 但し,実数 r に対して r r 以上の整数の中で最小のものを表す.

(1)  n2 ならば, a は条件(F)を満たすことを証明せよ.

(2) 条件(F)を満たす実数の中で, a=2 は最小であることを証明せよ.

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【3】  k 1 より大きい整数で, n j は不等式 1 +j( k-1) n を満たす正整数である.このとき, k 個の正整数からなる数列 ( a1, a2, ,a k) のうち,以下の 2 条件を両方とも満たす数列の個数を求めよ.

*条件(ⅰ): ak n

*条件(ⅱ):各 i 1 ik -1 に対して ai+1 -a ij

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新課程用

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【4】  f( x) は複素数平面全体で定義された関数であり,以下の条件(N)を満たすものとする.

*条件(N): Re( f( z) f (w ) ) )= Re (z w ) が任意の複素数 z w に対して成り立つ.

(但し,複素数 α に対して, Reα α の実部を, α α の共役複素数を表す.)

(1) 複素数 z の絶対値が 1 ならば, f( z) の絶対値も 1 であることを証明せよ.

(2) 以下の等式を証明せよ.

(a) 任意の複素数 z w に対して f (z +w) =f( z)+ f( w) が成り立つ.

(b) 任意の実数 r と任意の複素数 z に対して f (r z) =rf ( z) が成り立つ.

(3) 絶対値が 1 の複素数 α を用いて,

f( z)= az または f (z )=a z

と表せることを証明せよ.

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