2016　奈良県立医科大学　推薦医学科MathJax

【１】　次の条件を満たす放物線をグラフとする$2$次関数が一つに定まるものを，すべて選べ．ただし，$y$が$x$の$2$次関数のもののみを考える．

ア.　$3$点$(-4,13)\text{，}(-1,1)\text{，}(2,7)$を通る

イ.　軸が$x=3$であり，$2$点$(-3,8)\text{，}(9,8)$を通る

ウ.　頂点$(3,8)$で点$(5,1)$を通る

エ.　グラフが$x$軸と接していて，軸が$x=2$であり，点$(5,9)$を通る

【２】　関数

$f(x)=x^6+x^4+5x^2+5$

の最小値を求めよ．

【３】　表と裏の出る確率が同様に確からしいコインを$10$回投げる．表が$8$回以上出る確率を求めよ．ただし，答えは百分率（$\mathrm{\%}$）で表し，小数第$2$位を四捨五入することとする．

【４】

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\cos }^{2}x{\sin }^{3}xdx$

を求めよ．

【５】　$1$を解にもつ実数係数の方程式$x^3+a{x}^2+bx+c=0$の他の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とする．複素数平面上で$1\text{，}\alpha \text{，}\beta$が面積$6\sqrt{3}$である正六角形の異なる$3$頂点になっているという．この条件を満たす$c$の値を求めよ．

【６】　実数$x\text{，}y$が

$x^2+y^2=1$

を満たすとき，

${(x+y)}^2$

の最大値を求めよ．

【７】　方程式$x^2-(4{\log }_{10}2)x+{({\log }_{10}a)}^2=0\text{（}a>0\text{）}$が実数解を持たないような$a$の範囲を求めよ．

【８】

$y=\sin x\cos x+\sin x+\cos x$

の最大値と最小値を求めよ．

【９】　次の極限値を求めよ．

$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{e^x-e^{\sin x}}{x-\sin x}}$

【10】　$2$つの平面$2x-3y+z=1\text{，}3x+2y-z=-1$の交線を含み，ベクトル$(1,2,3)$に平行な平面の方程式を求めよ．

【11】　サイクロイド

$x=2(\theta -\sin \theta )\text{，}y=2(1-\cos \theta )$

の$0\leqq \theta \leqq 2\pi$の部分と$x$軸とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【12】　$3$つの実数$a\text{，}b\text{，}c$がこの順で等差数列をなし，$a\text{，}c\text{，}b$の順で等比数列をなす．さらに$abc=8$であるとき，$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

【13】　右図のように$\angle \mathrm{B}=2\angle \mathrm{C}\text{，}\mathrm{AB}=12$である$▵\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{D}\text{，}$頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{E}$とする．このとき，線分$\mathrm{DE}$の長さを求めよ．

【14】　$a\text{，}b\text{，}m$は実数とする．$a\text{，}b$が実数の範囲を動くとき，不等式

$m(a^2+b^2)\geqq {(a+b)}^2$

が常に成り立つような$m$の最小値を求めよ．

【15】　関数$f(x)$を$f(x)={\displaystyle \frac{1}{1+e^{-x}}}$とする．このとき導関数$f^{\prime }(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．