2016　県立広島大学　前期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$の初項を$a\ne 0$とし，初項から第$n$項までの和を

$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$

とする．また，数列$\{b_n\}$を

$b_n=2a_n+{\displaystyle \frac{3}{2}}a-S_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{b_n\}$の初項$b$を$a$を用いて表せ．

(2)　数列$\{a_n\}$が公比${\displaystyle \frac{1}{3}}$の等比数列ならば，数列$\{b_n\}$も等比数列になることを示せ．

(3)　数列$\{b_n\}$が公比${\displaystyle \frac{1}{3}}$の等比数列ならば，数列$\{a_n\}$も等比数列になることを示せ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=2\text{，}\mathrm{OB}=2\text{，}\mathrm{OC}=4\text{，}$

$\angle \mathrm{AOB}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}\angle \mathrm{AOC}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}\angle \mathrm{BOC}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$

とする．また，線分$\mathrm{OA}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{OB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{CQ}\text{，}$線分$\mathrm{CP}$の中点をそれぞれ$\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$とし，直線$\mathrm{PR}$と直線$\mathrm{QS}$の交点を$\mathrm{T}$とする．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OT}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{T}$から平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{TH}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{HT}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　四面体$\mathrm{OABT}$の体積を求めよ．

【３】　${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．次の問いに答えよ．

(1)　${\log }_{10}5\text{，}{\log }_{10}6$の値を求めよ．

(2)　$3^{100}$の桁数を求めよ．

(3)　$3^{100}$の最高位の数字を求めよ．

(4)　${(3.75)}^n$の整数部分が$10$桁になる自然数$n$を全て求めよ．

【４】　$t$を正の実数とする．関数$f(t)$を

$f(t)={\displaystyle {\int }_0^2}|x^3-t{x}^2+2tx-2t^2|dx$

で定義する．次の問いに答えよ．

(1)　$x^3-t{x}^2+2tx-2t^2$を因数分解せよ．

(2)　$f(t)$を$t$を用いて表せ．

(3)　$f(t)$の最小値を求めよ．