2016　広島市立大学　前期MathJax

【１】

問１　関数$y={\displaystyle \frac{2x+5}{x+2}}\text{（}0\leqq x\leqq 2\text{）}$の逆関数を求めよ．また，その定義域を求めよ．

【１】

問２　次の関数の導関数を求めよ．

$y={\displaystyle \frac{e^{\frac{x}{2}}}{\sqrt{\sin x}}}$

【１】

問３　次の不定積分，定積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{{\cos }^{3}x}{{\sin }^{2}x}}dx$

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}}}{\displaystyle \frac{x}{{(2x+1)}^2}}dx$

【２】

問１　複素数平面において，$\alpha =3+i\text{，}\beta =5-3i$とする．点$\beta$を，点$\alpha$を中心として${\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$だけ回転した点を表す複素数$\gamma$を求めよ．

【２】

問２　点$(0,1)$から曲線$3x^2-2y^2=-6$に引いた接線の方程式を求めよ．

【３】　関数$f(x)=x-\log x\text{（}x>0\text{）}$について，以下の問いに答えよ．

問１　関数$f(x)$の増減，極値と，曲線$y=f(x)$の凹凸を調べよ．

問２　曲線$y=f(x)$上の点$(e,f(e))$における接線を$l$とする．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)\text{，}$接線$l$および直線$x=1$で囲まれた部分の面積を求めよ．

問３　曲線$y=f(x)\text{，}$曲線$y=\log x\text{，}$直線$x=1$および直線$x=e$で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【４】　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおき，三角形$\mathrm{ABC}$の内部に点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{AP}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{c}$を満たすようにとる．また，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}\text{，}$直線$\mathrm{BP}$と直線$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{E}\text{，}$直線$\mathrm{CP}$と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

問２　銭分の長さの比$\mathrm{AF}:\mathrm{FB}\text{，}$$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}$をそれぞれ求めよ．

問３(1)　点$\mathrm{P}$が三角形$\mathrm{ABC}$の垂心であるとする．すなわち，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\perp \overrightarrow{\mathrm{CF}}$かつ$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\perp \overrightarrow{\mathrm{BE}}$が成り立っている．このとき，$\left|\overrightarrow{b}\right|:\left|\overrightarrow{c}\right|$および$\cos \angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が三角形$\mathrm{ABC}$の外心になることがあるかどうかを調べよ．