2016　高知工科大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(1)　$x={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}}\text{，}y={\displaystyle \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}}$のとき，$x^2+y^2$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(2)　$\sqrt{2016}$の整数部分を求めよ．ただし，$3.74<\sqrt{14}<3.75$であることを使ってもよい．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(3)　$3$辺の長さが$6\text{，}7\text{，}8$である三角形の外接円の半径を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(4)　$\tan {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(5)　$x^3+px+q$が${(x-1)}^2$で割り切れるとき，$p$と$q$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　$2^{10}=1024$に注意して，${\displaystyle \frac{n}{10}}<{\log }_{3}2<{\displaystyle \frac{n+1}{10}}$を満たす自然数$n$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　不等式$2|x-1|<|x+2|$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　$2$直線$y=4x+1\text{，}y={\displaystyle \frac{3}{5}}x+2$のなす角を$\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とするとき，$\tan \theta$の値を求めよ．

【２】　次の各問に答えよ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{，}e\text{，}f$の$6$文字を一列に並べて文字列をつくる．文字列は何通りできるか．

(2)　$a\text{，}a\text{，}a\text{，}b\text{，}b\text{，}c$の$6$文字を一列に並べて文字列をつくる．文字列は何通りできるか．

(3)　数直線上に動点$\mathrm{P}$がある．$1$個のサイコロを$1$回投げて出た目が$1\text{，}2\text{，}3$なら正の向きに$1$進み，出た目が$4\text{，}5$なら負の向きに$1$進み，出た目が$6$なら同じ位置に留まる．点$\mathrm{P}$の最初の位置が原点であるとき，サイコロを$6$回投げた結果，点$\mathrm{P}$が座標$1$の位置にある確率を求めよ．

【３】　$2$つの放物線$C_1\text{：}y={(x-1)}^2$と$C_2\text{：}y=-x^2+2px-2p^2+3$がある．ただし，$p$は実数とする．

(1)　$2$つの放物線$C_1\text{，}{C}_2$が異なる$2$点で交わる$p$の値の範囲を求めよ．

(2)　次の問に答えよ．

(ⅰ)　正の定数$k$に対し，放物線$y=-2x(x-k)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

(ⅱ)　定数$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$に対し，放物線$y=-2(x-\alpha )(x-\beta )$と$x$軸で囲まれた図形の面積を(ⅰ)を利用して求めよ．

(ⅲ)　(1)の条件のもとで，$2$つの放物線$C_1\text{，}{C}_2$で囲まれる図形の面積$S(p)$を求めよ．

(3)　(2)(ⅲ)の$S(p)$の最大値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(5)　$p\text{，}q$を定数とする．$x^3+px+q-1$が$x$の$1$次式の$2$乗で割り切れるとき，$p$と$q$が満たす関係式を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　虚数単位$i$に対し，${\left({\displaystyle \frac{1+i}{\sqrt{3}+i}}\right)}^{12}$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<a<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，極限$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\sin (a+h)}{\cos (a+h)}}-{\displaystyle \frac{\sin a}{\cos a}}}{h}}$を求めよ．

【２】　$x\geqq 1$の範囲で関数$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$を考える．次の各問に答えよ．

(1)　$x\geqq 1$のとき，$\sqrt{x}\geqq \log x$が成り立つことを示せ．

(2)　(1)を利用して極限$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}$を求めよ．

(3)　$f(x)$の増減表をかき，極値を求めよ．

(4)　$a$を$0$以上の定数とする．方程式$f(x)=a$の異なる実数解の個数を求めよ．

(5)　$\sqrt{2}\text{，}\sqrt[3]{3}\text{，}\sqrt[5]{5}\text{，}\sqrt[7]{7}$の大小関係を不等式で表せ．

【３】　$k$を定数とする．座標平面上に

曲線$\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\cdots \text{①}$と　直線$y=-3x+k\cdots \text{②}$

がある．次の各問に答えよ．

(1)　曲線$\text{①}$上の点$(x,y)$に対し，$x$の取り得る値の範囲は$0\leqq x\leqq 16$であることを説明せよ．

(2)　曲線$\text{①}$の方程式を$y$について解き，$y$を$x$の関数と見て，その増減と凹凸を調べよ．

(3)　直線$\text{②}$が曲線$\text{①}$に接するとき，$k$の値と接点の座標を求めよ．

(4)　(3)の条件の下で，曲線$\text{①}$と$y$軸および直線$\text{②}$で囲まれた部分の面積$S_1$を求めよ．

(5)　曲線$\text{①}$と

曲線$\sqrt{x}+\sqrt{-y}=4\cdots \text{③}$および　直線$y=-x+8\cdots \text{④}$

で囲まれた部分の面積$S_2$を求めよ．