2016　高知工科大学　後期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(1)　$x^{2016}+3x+1$を$x^2-1$で割った余りを求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(2)　次の連立方程式を解け．

$\{\begin{array}{l}x+y=4\\ xy=2\end{array}$

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(3)　座標平面上の点$(3,2)$を通る直線が，$3$点$(0,0)\text{，}(2,0)\text{，}(0,2)$を頂点とする三角形の面積を$2$等分するとき，この直線の傾きを求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(4)　$1$から$120$までの自然数のうち，$2\text{，}3\text{，}5$のいずれでも割り切れない数の個数を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(5)　$a={\log }_{2}3$とおく．${\log }_{2}9+{\log }_{3}4+{\log }_{4}2$を$a$で表せ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　$\sin \theta +\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，${\sin }^3-{\cos }^3\theta$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　$2$つの放物線$y=x^2$と$y=x^2-4x+8$の共通接線の方程式を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　$2$つの放物線$y=x^2-2x\text{，}y=-x^2+4$で囲まれた図形を$y$軸で$2$つに分けたとき，$x\geqq 0$の部分の面積を求めよ．

【２】　座標平面上に$3$つの放物線

$C_1\text{：}y=x^2$

$C_2\text{：}y=-{(x-4)}^2+1$

$C_3\text{：}{C}_1$を$x$軸方向に$p\text{（}\ne 0\text{），}y$軸方向に$q$だけ平行移動したもの

がある．次の各問に答えよ．

(1)　$C_3$の方程式を求めよ．

(2)　$C_2$の$x$座標が$a$である点における接線の傾きを求めよ．

(3)　$C_2$と$C_3$が接するとき

(ⅰ)　接点の$x$座標を$p$で表せ．

(ⅱ)　成分が$(p,q)$であるベクトルと$C_2\text{，}{C}_3$の共通接線とが垂直な場合の$p$の値を求めよ．

(4)　$C_1$と$C_2$の距離，すなわち$C_1$上の点と$C_2$上の点との距離の最小値を求めよ．

【３】　次の各問に答えよ．ただし，合同であっても位置が異なる三角形は区別するものとする．

(1)　正$7$角形の頂点から$3$つの頂点を選んで三角形をつくる．

(ⅰ)　この正$7$角形の$1$つの頂点を$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{A}$を頂点として選んだ三角形のうち，三角形の内角$\angle \mathrm{A}$が鈍角となるような三角形の個数を求めよ．

(ⅱ)　できる三角形のうち，鈍角三角形の個数を求めよ．

(ⅲ)　できる三角形のうち，鋭角三角形の個数を求めよ．

(2)　正$9$角形の頂点から$3$つの頂点を選んで三角形をつくるとき，鋭角三角形の個数を求めよ．

(3)　正$11$角形の頂点から$3$つの頂点を選んで三角形を作るとき，鋭角三角形の個数を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(2)　$n^4+4$を$A^2-B^2$の形に変形することによって，$n^4+4$を実数を係数とする$n$の$2$次式の積で表せ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(4)　曲線$y=-\sqrt{x+5}$と直線$y=x-1$の交点の座標を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　$f(x)=\log (\sqrt{x^2+1}-x)$を微分せよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　${\displaystyle {\int }_1^9}{\displaystyle \frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}}dx$の値を求めよ．

【２】　次の各問に答えよ．

(1)　${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{1-x^2}}dx$を求めよ．

(2)　$0\leqq x<{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，不等式

$(1+x^2)(1-x^2)\leqq 1\leqq (1-x^2)(1+{\displaystyle \frac{4}{3}}{x}^2)$

を証明せよ．

(3)　$0<a<{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，不等式

${\displaystyle {\int }_0^a}(1+x^2)dx\leqq {\displaystyle {\int }_0^a}{\displaystyle \frac{1}{1-x^2}}dx\leqq {\displaystyle {\int }_0^a}(1+{\displaystyle \frac{4}{3}}{x}^2)dx$

を証明せよ．

(4)　(3)を利用して，$\log 2$の値を小数第$2$位まで正しく求めよ．