2016　高知工科大学　AO経済・マネジメント学群MathJax

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(1)　$2016$の正の約数の個数を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(2)　方程式$|x-2|=1+|x+3|$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(3)　方程式$x^3+x^2+2x-4=0$の複素数解をすべて求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(4)　$100$から$999$までの整数で，各桁の数が二つ以上同じものの個数を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(5)　$4^{{\log }_{2}5}$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　$\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　$f(x)=x^3+3x^2-9x-4$の極大値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　$n$を自然数とするとき，${\displaystyle \frac{2n^2+9n+12}{n+2}}$の小数部分を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(9)　$n$を$0$以上の整数とするとき，${}_{2n+1}C_0+{}_{2n+1}C_1+\cdots +{}_{2n+1}C_n$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(10)　$y=f(x)$上の任意の点$(a,f(a))$から点$(0,1)$までの距離と，点$(a,f(a))$から点$(a,-1)$までの距離とが等しいとき，$f(x)$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(11)　連立不等式$x^2\leqq y\text{，}y\leqq 2x+3\text{，}y\leqq -x+6$の表す領域の面積を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(12)　$p\text{，}q\text{，}r\text{，}s\text{，}t$は$0$または$1$とする．このとき

$0.78<{\displaystyle \frac{p}{2}}+{\displaystyle \frac{q}{4}}+{\displaystyle \frac{r}{8}}+{\displaystyle \frac{s}{16}}+{\displaystyle \frac{t}{32}}<0.80$

を満たすような$(p,q,r,s,t)$を$1$組求めよ．

【２】　関数$f(x)\text{，}g(x)$を

$f(x)=x^2-1\text{，}g(x)={\{f(x)\}}^2-1$

で定義する．次の各問に答えよ．

(1)　$g(x)=0$をみたす実数$x$をすべて求めよ．

(2)　$x>1\text{，}f(x)=x$をみたす実数$x$を$1$つ求めよ．

(3)　$x>1\text{，}g(x)=x$をみたす実数$x$を$1$つ求めよ．

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$の$3$つの角を$A\text{，}B\text{，}C$とし，向かい合う辺の長さを$a\text{，}b\text{，}c$とする．このとき，次の$3$つの命題$\text{(P)(Q)(R)}$のうち，どの$2$つも互いに同値であることが知られている．その証明を読み，後の設問に答えよ．ただし，証明にあたっては，三角関数の加法定理は既知とする．

$\text{(P)}$　${\displaystyle \frac{a}{\sin A}}={\displaystyle \frac{b}{\sin B}}={\displaystyle \frac{c}{\sin C}}\cdots \text{(ⅰ)}$

$\text{(Q)}$　$\{\begin{array}{l}a=b\cos C+c\cos B\cdots \text{(ⅱ)}\\ b=c\cos A+a\cos C\cdots \text{(ⅲ)}\\ c=a\cos B+b\cos A\cdots \text{(ⅳ)}\end{array}$

$\text{(R)}$　$\{\begin{array}{l}{a}^2=b^2+c^2-2bc\cos A\cdots \text{(ⅴ)}\\ b^2=c^2+a^2-2ca\cos B\cdots \text{(ⅵ)}\\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\cdots \text{(ⅶ)}\end{array}$

[証明]　まず$\text{(P)}⟹\text{(Q)}$を示す．与えられた式の値を$k$とすると

$a=k\sin A\text{，}b=k\sin B\text{，}c=k\sin C$

である．よって

$\begin{array}{ll}b\cos C+c\cos B& =k\sin B\cos C+k\sin C\cos B\\ & =k\sin (B+C)\\ & =k\sin (\pi -A)\\ & =k\sin A\\ & =a\end{array}$

である．_(あ)よって(ⅱ)が示された．

　同様に(ⅲ)，(ⅳ)も示される．よって$\text{(P)}⟹\text{(Q)}$が示された．

　次に$\text{(Q)}⟹\text{(R)}$を示す．$\text{(ⅱ)}\times a+\text{(ⅲ)}\times b-\text{(ⅳ)}\times c$をつくると

$\begin{array}{ll}{a}^2+b^2-c^2=& a(b\cos C+c\cos B)+b(c\cos A+a\cos C)\\ & -c(a\cos B+b\cos A)\end{array}$

であるが，_(い)これは$2ab\cos C$に等しい．よって(ⅶ)式が成り立つ．

　(ⅴ)，(ⅵ)も同様である．よって$\text{(Q)}⟹\text{(R)}$が示された．

　次に$\text{(R)}⟹\text{(P)}$を示す．(ⅴ)より

$\cos A={\displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}$

である．よって

$\begin{array}{ll}{\sin }^{2}A& =1-{\cos }^{2}A\\ & =1-{\left({\displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}\right)}^2\\ & ={\displaystyle \frac{{(2bc)}^2-{(b^2+c^2-a^2)}^2}{{(2bc)}^2}}\end{array}$

である．この式の分子は

_(う)$(b+c+a)(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)$

と因数分解できるので

${\displaystyle \frac{{\sin }^{2}A}{a^2}}={\displaystyle \frac{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{{(2abc)}^2}}$

が成り立つ．この右辺は$a\text{，}b\text{，}c$の対称式だから

が成り立つ．よって

${\displaystyle \frac{\sin A}{a}}={\displaystyle \frac{\sin B}{b}}={\displaystyle \frac{\sin C}{c}}$

が成り立つ．よって$\text{(R)}⟹\text{(P)}$が示された．

　以上により$\text{(P)}⟹\text{(Q)}\text{，}\text{(Q)}⟹\text{(R)}\text{，}\text{(R)}⟹\text{(P)}$が成り立つことが分かったので，(P)(Q)(R)から任意の$2$つを選んだとき，_(お)それらは互いに同値である．（証明終了）

[設問](1)　下線部(あ)と同様にして，(ⅲ)が成り立つことを示せ．

(2)　下線部(い)を確かめなさい．

(3)　下線部 (う)を確かめなさい．

(4)　下線部(え)について，

${\displaystyle \frac{{\sin }^{2}A}{a^2}}={\displaystyle \frac{{\sin }^{2}B}{b^2}}$

が成り立っていることを確かめなさい．

(5)　下線部(お)の理由を分かりやすく説明しなさい．

(6)　上の証明では$\{\text{(ⅱ)かつ(ⅲ)かつ(ⅳ)}\}$ならば(ⅶ)であることが示されたが，$\{\text{(ⅱ)かつ(ⅲ)かつ(ⅶ)}\}$ならば(ⅳ)であることを示せ．

(7)　$\{\text{(ⅱ)かつ(ⅲ)かつ(ⅶ)}\}$はI(P)(Q)(R)のいずれとも同値である理由を分かりやすく説明しなさい．