2016　九州歯科大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$5\sin \theta \cos \theta =2$のとき，$A=\tan \theta +{\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }}\text{，}B={(\sin \theta )}^4+{(\cos \theta )}^4\text{，}C={(\sin \theta )}^8+{(\cos \theta )}^8$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　等比数列$\{a_n\}$の初項を$a_1=\alpha \text{，}$公比を$r$とする．自然数$n$に対して，$b_n={\log }_3{a}_n$とおく．数列$\{b_n\}$が初項$b_1=4\text{，}$公差$d=-2$の等差数列となるとき，$\alpha$と$r$の値を求めよ．また，$\beta =8{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$の値を求めよ．ただし，$\alpha >0\text{，}r>0$とする．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　定積分$I={\displaystyle {\int }_{-2}^3}(3\sqrt{x^4-6x^2+9}-4x)dx$の値を求めよ．

【２】　関数$F(x)=3x^5-15x^4-35x^3+165x^2+360x+240$の導関数を$f(x)$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$A={\displaystyle \frac{f(2)+f(3)+f(4)}{15}}$の値を求めよ．

(2)　$f(x)$を因数分解せよ．

(3)　$y=x^2-2x-3$とおく．$f(x)$を$y$を用いて表せ．

(4)　不等式$f(x)<750$をみたす$x$の中で，最小の整数を$m$とする．$m$の値を求めよ．また，閉区間$[m,m+5]$における$F(x)$の最小値$B$を求めよ．

【３】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の$4$つの箱がある．箱$\mathrm{A}$には$8$個の白球と$8$個の黒球が入っている．箱$\mathrm{B}$には$3$個の白球と$3$個の黒球が入っている．箱$\mathrm{C}$と箱$\mathrm{D}$は空である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　箱$\mathrm{A}$から同時に$2$個の球を取り出す．取り出された$2$個の球が共に白球である確率$p_1\text{，}$取り出された$2$個の球が共に黒球である確率$p_2\text{，}$取り出された$2$個の球が白球と黒球である確率$p_3$を求めよ．

(2)　箱$\mathrm{A}$から取り出された$2$個の球が白球か黒球の一色のみのとき，箱$\mathrm{B}$からこの色の球$3$個を箱$\mathrm{C}$に移す．一方，箱$\mathrm{A}$から取り出された$2$個の球が白球と黒球のとき，箱$\mathrm{B}$から白球$2$個と黒球$1$個を箱$\mathrm{C}$に移す．次に，箱$\mathrm{C}$から$1$個の球を取り出し，この球を箱$\mathrm{D}$に移す．このとき，箱$\mathrm{D}$の球が白球である確率$q_1$と黒球である確率$q_2$を求めよ．

(3)　箱$\mathrm{A}$から取り出された$2$個の球を箱$\mathrm{A}$に戻した後に箱$\mathrm{A}$から$1$個の球を取り出し，箱$\mathrm{B}$に移す．次に，箱$\mathrm{D}$に入っている$1$個の球を箱$\mathrm{A}$に移す．以上の操作が完了した後の箱$\mathrm{A}$に入っている黒球の個数が$6$となる確率$r_1\text{，}7$となる確率$r_2\text{，}8$となる確率$r_3\text{，}9$となる確率$r_4\text{，}10$となる確率$r_5$を求めよ．