2016　北九州市立大学　前期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$は，初項から第$n$項までの和が次の$S_n$で与えられるとする．

$S_n=2-{\displaystyle \frac{n+2}{2^n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

また，数列$\{b_n\}$と$\{c_n\}$は

$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{n}}\text{，}{c}_n=n{a}_n\text{（}\mathrm{n.}=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定められるとする．以下の問題に答えよ．

(1)　$a_1$と$a_2$を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．

(3)　数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和$T_n$を求めよ．

(4)　数列$\{c_n\}$について，$c_{n+1}$を$a_n$と$b_n$と$c_n$を用いて表せ．

(5)　数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$U_n$を求めよ．

【２】　座標平面上の原点$\mathrm{O}$と$2$次関数$f(x)=-x^2+ax$を考える．ただし，$a$は正の定数である．以下の問題に答えよ．

(1)　$y_1=-x^2+x\text{，}{y}_2=-x^2+2x$とする．${\displaystyle \frac{y_2}{y_1}}>0$となる$x$の値の範囲を求めよ．また，次の式を満たす$x$の値を求めよ．

${\log }_2\left({\displaystyle \frac{y_2}{y_1}}\right)=2$

(2)　積分${\displaystyle {\int }_0^1}|f(x)|dx$の値を$a$を用いて表せ．また，この値が最小となるときの$a$の値を求めよ．

(3)　$a={\displaystyle \frac{5}{4}}$とする．関数$y=f(x)$のグラフで$x\geqq 0$を満たす部分を曲線$C$とする．曲線$C$上の$2$点を$\mathrm{P}(p,f(p))\text{，}\mathrm{Q}(p+1,f(p+1))$とし，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$から$x$軸へ下ろした各々の垂線を${\mathrm{PP}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{QQ}}^{\prime }$とする．ただし，$p$は$0<p<{\displaystyle \frac{1}{4}}$または${\displaystyle \frac{1}{4}}<p<1$を満たす．点$\mathrm{P}\text{，}{\mathrm{P}}^{\prime }\text{，}\mathrm{Q}\text{，}{\mathrm{Q}}^{\prime }$を結ぶ図形が平行四辺形となるとき，$p$の値を求めよ．

【３】　座標平面上の$4$点を$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}\mathrm{A}(k,1)\text{，}\mathrm{B}(k,-1)$とする．ただし，$k>1\text{，}0\mathrm{°}<\theta <90\mathrm{°}$であるとする．以下の問題に答えよ．

(1)　$▵\mathrm{PAB}$の面積を$\theta$と$k$を用いて表せ．

(2)　直線$\mathrm{PB}$と$x$軸の交点を$\mathrm{C}$とするとき，$▵\mathrm{OPC}$の面積を$\theta$と$k$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{PB}\perp \mathrm{OA}$が成り立つための条件を$\theta$と$k$を用いて表せ．

(4)　$\theta =30\mathrm{°}$のとき，$\mathrm{PB}\perp \mathrm{OA}$が成り立つとする．このとき，$k$の値を求めよ．

【４】　$1$個のサイコロを$1$回投げ，出た目の数と同じ回数だけ$1$枚のコインを繰り返し投げる．以下の問題に答えよ．

(1)　サイコロの出た目が$4$であった場合に，コインの表の出た回数と裏の出た回数が同じである確率を求めよ．

(2)　コインの表と裏が交互に出る確率を求めよ．ただし，交互とは複数回コインを投げて表と裏が互い違いに出る場合をいう．

(3)　コインの表の出た回数と裏の出た回数が同じである確率を求めよ．

(4)　コインの表の出た回数が裏の出た回数より多い確率を求めよ．

(5)　コインの表の出た回数と裏の出た回数が同じである場合に，サイコロの出た目が$4$であった確率を求めよ．

【１】　以下の問いの空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{コ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問１　方程式$|x+2|-|x-1|=3x-4$を満たす$x$の値は$\boxed{\text{ア}}$である．

【１】　以下の問いの空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{コ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問２　$2$次関数$y=a{x}^2+bx+c$のグラフが$3$点$\mathrm{A}(5,2)\text{，}\mathrm{B}(7,-1)\text{，}\mathrm{C}(1,2)$を通るとき，$a=\boxed{\text{イ}}\text{，}b=\boxed{\text{ウ}}\text{，}c=\boxed{\text{エ}}$である．この関数$y$のグラフを$x$軸方向に$-3$だけ平行移動したグラフを表す$2$次関数は$y=\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　以下の問いの空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{コ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問３　あるクラスの男子学生の身長が，それぞれ$184\mathrm{cm}\text{，}160\mathrm{cm}\text{，}165\mathrm{cm}\text{，}172\mathrm{cm}\text{，}170\mathrm{cm}\text{，}175\mathrm{cm}\text{，}170\mathrm{cm}\text{，}180\mathrm{cm}$であるとき，中央値は$\boxed{\text{カ}}\mathrm{cm}$で，分散は$\boxed{\text{キ}}$である．

【１】　以下の問いの空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{コ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問４　$1$から$8$までの数字がひとつずつ書かれた$8$枚のカードの中から同時に$2$枚を選ぶとき，その和が$9$の場合は$100$点，その積が$40$以上の場合は$-25$点，その他の場合は$20$点与えられるものとする．得点の期待値は$\boxed{\text{ク}}$点である．

【１】　以下の問いの空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{コ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問５　不定方程式$17x-13y=1$の整数解を整数$m$を用いて表すと$x=\boxed{\text{ケ}}\text{，}y=\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　以下の問いの空欄$\boxed{\text{サ}}\text{〜}\boxed{\text{ニ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問１　$2$次方程式$2x^2-3x+2=0$の解を$\alpha \text{，}\beta$とするとき，${\alpha }^2\text{，}{\beta }^2$を解とする$2$次方程式の$1$つは$\boxed{\text{サ}}$である．

【２】　以下の問いの空欄$\boxed{\text{サ}}\text{〜}\boxed{\text{ニ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問２　$3$点$\mathrm{A}(-1,7)\text{，}\mathrm{B}(2,1)\text{，}\mathrm{C}(3,4)$を通る円の方程式は$\boxed{\text{シ}}$である．また，この円と直線$y=x+k$が接するとき$k=\boxed{\text{ス}}\text{，}\boxed{\text{セ}}$である．

【２】　以下の問いの空欄$\boxed{\text{サ}}\text{〜}\boxed{\text{ニ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問３　関数$y=\cos 2x+2\sin x\text{（}0\leqq x<2\pi \text{）}$の最大値，最小値と，そのときの$x$の値を求めると，$x=\boxed{\text{ソ}}\text{，}\boxed{\text{タ}}$のとき最大値$y=\boxed{\text{チ}}$をとり，$x=\boxed{\text{ツ}}$のとき最小値$y=\boxed{\text{テ}}$をとる．

【２】　以下の問いの空欄$\boxed{\text{サ}}\text{〜}\boxed{\text{ニ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問４　不等式${\log }_2(x+5)+{\log }_2(x-2)<3$を満たす$x$の範囲は$\boxed{\text{ト}}$である．

【２】　以下の問いの空欄$\boxed{\text{サ}}\text{〜}\boxed{\text{ニ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問５　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=2n^2-n\text{，}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$と表されるとき，この数列の一般項$a_n$は$\boxed{\text{ナ}}$であり，$a_1{a}_2+a_2{a}_3+a_3{a}_4+\cdots +a_n{a}_{n+1}$を$n$の式で表すと$\boxed{\text{ニ}}$である．

【３】　曲線$C\text{：}y=x^3-6x^2+9x$について，以下の問いに答えよ．答えを導く過程も示すこと．

問１　曲線$C$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．

問２　定数$a$に対し，直線$l\text{：}y=ax$が曲線$C$と$x=2$で交点をもつとき，$a$の値と全ての交点の座標を求めよ．

問３　問２の条件のもとで曲線$C$と直線$l$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

問４　直線$l$が曲線$C$と$x\geqq 0$の範囲で異なる$3$点で交わるような$a$の値の範囲を求めよ．

【４】　四面体$\mathrm{OABC}$と点$\mathrm{P}$について，$14\overrightarrow{\mathrm{OP}}+5\overrightarrow{\mathrm{AP}}+9\overrightarrow{\mathrm{BP}}+7\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{0}$が成り立つとする．四面体$\mathrm{OABC}\text{，}\mathrm{PABC}$の体積をそれぞれ$V_1\text{，}{V}_2$とするとき，$V_1:V_2$を以下の手順で求めよ．答えを導く課程も示すこと．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．

問２　線分$\mathrm{BC}$を$7:9$に内分する点を$\mathrm{D}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を用いて表せ．

問３　点$\mathrm{P}$はどのような位置にあるか説明せよ．

問４　$V_1:V_2$を求めよ．