2016　福岡女子大学　前期MathJax

【１】　$n$個のデータの値を$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_n$とし，それらの平均値を$\bar{x}$とする．このとき，このデータの分散は

$s^2={\displaystyle \frac{1}{n}}\{{(x_1-\bar{x})}^2+{(x_2-\bar{x})}^2$$+\cdots +{(x_n-\bar{x})}^2\}$

で定義される．この定義式は

$s^2={\displaystyle \frac{1}{n}}({x_1}^2+{x_2}^2+\cdots +{x_n}^2)-{\bar{x}}^2$

と表すこともできる．

今，表のように$5$個のデータ$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_5$があり，その平均値と分散を計算したところ，$\bar{x}=15\text{，}{s}^2=50$となった．このとき，以下の問に答えなさい．

(1)　$5$個のデータの合計$A$および$2$乗の合計$B$を計算しなさい．

(2)　後になって，$5$個のデータのうち$2$番目のデータである$x_2=25$は誤りであり，除外しなければならないことが判明した．このデータを除外した場合の$4$個のデータの平均値および分散の値をそれぞれ計算しなさい．

【２】　$n$を$2$以上の自然数とする．$1$から$n$までの異なる自然数が$1$つずつ書かれたカードがちょうど$n$枚ある．その$n$枚のカードから$1$枚のカードを取り出し，元に戻してから$2$毎目のカードを取り出したとき，以下の問に答えなさい．

(1)　$1$番目のカードの数が$2$番目のカードの数よりも小さくなる場合は何通りあるかを$n$の式で表しなさい．

(2)　$1$番目のカードの数が$2$番目のカードの数よりも小さくなる確率を$n$の式で表しなさい．

【３】　以下の問に答えなさい．

(1)　線分$\mathrm{XY}$に垂直に交わる直線$l$とその交点$\mathrm{T}$を考える．直線$l$上の点$\mathrm{S}$に対し，内積$\overrightarrow{\mathrm{XS}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{XY}}$は$\mathrm{S}$の$l$上での位置に関係なく，線分$\mathrm{XT}$の長さと線分$\mathrm{XY}$の長さの積に等しいことを右の図を参考にして示しなさい．

(2)　$2$辺の長さが$\mathrm{AB}=a\text{，}\mathrm{AC}=b$であるような$▵\mathrm{ABC}$を考える．その外心を$\mathrm{O}\text{，}$外接円の半径を$r$とする．

(a)　(1)および，次の図を参考にして，内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AO}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AO}}$をそれぞれ$a\text{，}b$の式で表しなさい．

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(b)　特に$\angle \mathrm{BAC}=60\mathrm{°}$としたとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を求めなさい．さらに，

$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=x\overrightarrow{\mathrm{AB}}+y\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

を満たす実数$x\text{，}y$をそれぞれ$a\text{，}b$の式で表しなさい．

(c)　(b)において，$r$を$a\text{，}b$の式で表しなさい．

【４】　$a\geqq 0$とする．$3$次関数$f(x)=x^3-3a^{2}x+2$について，$f(x)=0$の$1$つの解は負，残りの解は正であるとする．また，$f(x)$は$x=x_0$のとき極大値，$x=x_1$のとき極小値をとるとする．以下の問に答えなさい．

(1)　極大値$f(x_0)$と極小値$f(x_1)$を$a$の式で表しなさい．

(2)　$y=f(x)$のグラフの概形を参考にして，$a$のとりうる値の範囲を求めなさい．

(3)　$y=f(x)$上の点$(x_1,f(x_1))$における接線と$y=f(x)$で囲まれた部分の面積を$a$の式で表しなさい．

【５】　以下の問に答えなさい．

(1)　$p>0\text{，}q>0$とする．すべての実数$x$に対し，不等式

${\displaystyle \frac{x^2}{p}}+{\displaystyle \frac{1}{q}}-{\displaystyle \frac{{(x+1)}^2}{p+q}}\geqq 0$

が成り立つことを示しなさい．

(2)　自然数$n$に対する命題「$p_1>0\text{，}{p}_2>0\text{，}\cdots \text{，}{p}_n>0$ならば，不等式

${\displaystyle \frac{1}{p_1}}+{\displaystyle \frac{1}{p_2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{p_n}}\geqq {\displaystyle \frac{n^2}{p_1+p_2+\cdots +p_n}}$

が成り立つ」がすべての自然数$n$に対して真であることを，(1)の不等式を参考に，数学的帰納法を用いて証明しなさい．

【４】　$z$を複素数，$i$を虚数単位とするとき，以下の問に答えなさい．

(1)　方程式

${(x+1)}^2=1-\sqrt{3}i$

の解を求めなさい．

(2)　方程式

$z^2-z+{\displaystyle \frac{3}{4}}+\sqrt{3}i=0$

の解を求めなさい．

【５】　$a\text{，}b$を$a<b$であるような正の定数とするとき，以下の問に答えなさい．

(1)　不定積分

${\displaystyle \int }\sqrt{a^2{\cos }^2\theta +b^2{\sin }^2\theta }\sin \theta \cos \theta d\theta$

を$t=\sqrt{a^2{\cos }^2\theta +b^2{\sin }^2\theta }$とおくことにより$t$の式で求めなさい．

(2)　媒介変数$\theta (0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$によって表される図のような曲線

$\{\begin{array}{l}x=a{\cos }^3\theta \\ y=b{\sin }^3\theta \end{array}$

を考える．この曲線の長さ$l$が

$l={\displaystyle \frac{a^2+ab+b^2}{a+b}}$

となることを示しなさい．