2016　長崎県立大学　前期MathJax

【１】　次の問に答えなさい．

(1)　実数$x\text{，}y$が$2x+y=5\text{，}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$を満たすとき，$x^2+y^2$の最大値と最小値を求めなさい．

【１】　次の問に答えなさい．

(2)　$▵\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=4\text{，}\mathrm{OB}=5\text{，}\cos \angle \mathrm{AOB}=-{\displaystyle \frac{1}{5}}$とする．辺$\mathrm{AB}$の長さ，$▵\mathrm{OAB}$の面積，内接円の半径を求めなさい．

【１】　次の問に答えなさい．

(3)　$a\text{，}b$は定数とする．$3$次方程式$x^3+a{x}^2+x+b=0$が$x=-1$と$x=3$を解にもつとき，$a\text{，}b$の値と残る一つの解を求めなさい．

【２】　関数$f(x)=x^3-9x^2+15x+18$について，次の問に答えなさい．

(1)　$f(x)$の増減表を書いて，極大値$M\text{，}$極小値$m\text{，}$およびそのときの$x$の値を求めなさい．また，$y=f(x)$のグラフの概形をかきなさい．

(2)　$k$を正の定数とする．(1)のとき，$0\leqq x\leqq k$における$f(x)$の最大値が$M\text{，}$最小値が$m$となるような$k$の値の範囲を求めなさい．

(3)　$a$を実数の定数とする．$y=x^3-9x^2+18$のグラフと直線$y=-15x+a$が，$x>0$の範囲に$3$個の共有点をもつような，$a$の値の範囲を求めなさい．

【３】　$\mathrm{AB}=6\text{，}\mathrm{BC}=8\text{，}\mathrm{CA}=3$の$▵\mathrm{ABC}$があり，辺$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{BD}=3$となる点$\mathrm{D}$がある．$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を通る円と辺$\mathrm{AB}$の交点のうち，$\mathrm{A}$と異なる方の点を$\mathrm{E}$とする．また，$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{F}$とする．次の問に答えなさい．

(1)　線分$\mathrm{BE}$と$\mathrm{DE}$の長さをそれ求めなさい．

(2)　線分$\mathrm{CF}$の長さを求めなさい．

(3)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を通る円と直線$\mathrm{AF}$の交点のうち，$\mathrm{A}$と異なる方の点を$\mathrm{G}$とする．さらに，直線$\mathrm{GD}$と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{EH}$の長さを求めなさい．

【４】　$▵\mathrm{QAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{AQ}\text{，}\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{X}\text{，}$直線$\mathrm{OX}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{R}$とする．次の問に答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表しなさい．

　以下，$\mathrm{OA}=6\text{，}\mathrm{OA}\perp \mathrm{BP}\text{，}\mathrm{OB}\perp \mathrm{AQ}$とする．

(2)　辺$\mathrm{OB}$の長さと内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めなさい．

(3)　$▵\mathrm{OAB}$の面積と線分$\mathrm{OR}$の長さを求めなさい．

【５】　白玉$3$個と黒玉$3$個がある．まず，袋の中に白玉$3$個と黒玉$1$個を入れ，そこから$1$個の玉を取り出す．そのとき

取り出した玉が白玉ならば，その玉を袋に戻して$1$回目の試行を終える．

取り出した玉が黒玉ならば，その黒玉と袋の外にある黒玉$1$個を合わせた黒玉$2$個を袋に入れて$1$回目の試行を終える．

$2$回目，$3$回目，$\cdots$も同様にして，白玉を取り出したときはそのままもとに戻し，黒玉を取り出したときは，取り出した黒玉と袋の外に残っている黒玉$1$個を合わせて袋に入れる．袋の中が白玉$3$個と黒玉$3$個となった時点で試行を終えることとする．ちょうど$n$回目の試行で，袋の中が白玉$3$個と黒玉$3$個となる確率を$p_n$とおく．このとき，次の問に答えなさい．

(1)　$p_1\text{，}{p}_2\text{，}{p}_3$を求めなさい．

(2)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$のとき，$p_{n+1}={\displaystyle \frac{3}{4}}{p}_n+{\displaystyle \frac{1}{10}}{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^{n-1}$が成り立つことを証明しなさい．

(3)　$p_n$を$n$の式で表しなさい．