2016　東北学院大学　前期文系全学部MathJax

【１】　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において

$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=4\text{，}\mathrm{DA}=5$

とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\angle \mathrm{CDA}=\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

(ⅱ)　対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．

(ⅲ)　四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を求めよ．

(ⅳ)　対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，面積比$▵\mathrm{ABP}:▵\mathrm{APD}$を求めよ．

【２】　$x={\displaystyle \frac{5-\sqrt{21}}{2}}\text{，}y={\displaystyle \frac{5+\sqrt{21}}{2}}$のとき，次の式の値を求めよ．

(ⅰ)　$x^2+y^2$

(ⅱ)　$\sqrt{x}-\sqrt{y}$

【３】　関数$f(x)=x^2-6x+{\displaystyle {\int }_0^x}(t^2-6t+9)dt$の増減を調べ極値を求めよ．

【４】　点$\mathrm{A}$を中心とし半径が$r$の円と円$C\text{：}{x}^2+y^2=4$が異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わっているとき，次の問いに答えよ．ただし，点$\mathrm{P}$の$x$座標は点$\mathrm{Q}$の$x$座標より小さいとする．

(ⅰ)　$r$の値の範囲を求めよ．

(ⅱ)　直線$\mathrm{AP}$が円$C$の接線であるとき，$r$の値と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$1368$と$7980$の最大公約数を求めよ．

(ⅱ)　$1$次不定方程式$1368x+7980y=0$のすべての整数解を求めよ．

(ⅲ)　$x\text{，}y$を整数とするとき，$1368x+7980y$のとりうる正の値のうち最小のものを求めよ．

【６】　数鉄$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=3a_n+2n$で表されるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a_1$と$a_2$を求めよ．

(ⅱ)　$a_n$を$n$の式で表せ．