2016　東北学院大学　前期分割文，経済，経営，法，教養学部2月2日MathJax

【１】　$2$次関数$y=(x+a)(x-a-2)$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数とする．

(ⅰ)　この関数のグラフの頂点の座標を求めよ．

(ⅱ)　この関数の最小値が$-5$であるとき，$a$の値を求めよ．

(ⅲ)　$y\leqq 0$となるような整数$x$がちょうど$5$個存在するように$a$の値の範囲を定めよ．

(ⅳ)　$0\leqq x\leqq a$におけるこの関数の最大値を求めよ．

【２】　命題「$-1<x<2$ならば$x^2+x-6<0$である」について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　この命題の逆を述べ，その真偽をしらべよ．真である場合には証明し，偽である場合には反例をあげよ．

(ⅱ)　この命題の対偶を述べ，その真偽を調べよ．真である場合には証明し，偽である場合には反例をあげよ．

【３】　実数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$に対して

$A={\displaystyle {\int }_{-1}^1}{(ax+b)}^{2}dx\text{，}B={\displaystyle {\int }_{-1}^1}{(cx+d)}^{2}dx\text{，}C={\displaystyle {\int }_{-1}^1}(ax+b)(cx+d)dx$

とする．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　定積分$A\text{，}B\text{，}C$を求めよ．

(ⅱ)　不等式$AB\geqq C^2$が成り立つことを示せ．

【４】　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$f(\theta )=\sqrt{1-\cos \theta }+\sqrt{2(1+\cos \theta )}$の最大値と最小値を求めよ．

【５】　$\mathrm{TOHOKUGU}$の$8$文字をすべて使って$1$列に並べるとき，次のような並べ方は何通りあるか．

(ⅰ)　すべての並べ方

(ⅱ)　$\mathrm{OO}$と$\mathrm{UU}$という文字列を両方含む並べ方

(ⅲ)　$\mathrm{OU}$または$\mathrm{UO}$という文字列を少なくともひとつ含む並べ方．

【６】　空間内に原点を中心とし半径$r$の球$C$がある．点$\mathrm{A}(1,1,2)$を通り，$\overrightarrow{u}=(-1,-2,-2)$に平行な直線を$l$とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　球$C$が直線$l$と共有点を持つような$r$の値の範囲を求めよ．

(ⅱ)　$r=1$のとき，球$C$と直線$l$の共有点の座標を求めよ．