2016　東北学院大学　後期文,法,経済,経営,教養学部3月4日MathJax

【１】　$2$次関数$y=x^2-6x+3$のグラフと$2$直線$x=a\text{，}x=a+2$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とする．

(ⅰ)　直線$\mathrm{PQ}$と$3$直線$x=a\text{，}x=a+2\text{，}y=-6$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

(ⅱ)　$a$が変化するとき，(ⅰ)で求めた$S$の最小値を求めよ．

(ⅲ)　$a\leqq x\leqq a+2$における$2$次関数$y=x^2-6x+3$の最大値と最小値を求めよ．

【２】　次の方程式と不等式を解け．

(ⅰ)　$\left|x\right|+|x-1|=10$

(ⅱ)　$|x-3|+|x-20|\leqq 17$

【３】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　${\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{100}$は，小数第何位に初めて$0$でない数字が現れるか，またその数字は何か．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

(ⅱ)　$2^{63}\text{，}{3}^{42}\text{，}{5}^{27}$を小さい順に並べよ．

【４】　関数$y=\sin 2\theta +2\cos \theta -2\sin \theta +2$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$t=\cos \theta -\sin \theta$とおき，$y$を$t$の式で表せ．

(ⅱ)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，この関数の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

【５】　$n$を自然数とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　赤球と白球が$n$個ずつ入っている袋から同時に$2$個の球を取り出すとき，それらが同じ色である確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$より小さいことを証明せよ．

(ⅱ)　赤球が$n$個と白球が$n+5$個入っている袋から同時に$2$個の球を取り出すとき，それらが同じ色である確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}$より大きくなるような$n$の値の範囲を求めよ．

【６】　空間内の$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,1,1)\text{，}\mathrm{B}(2,3,4)\text{，}\mathrm{C}(0,5,2)$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を求めよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{C}$から点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る平面に垂線$\mathrm{CH}$を下ろしたとき，点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(ⅲ)　点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を頂点とする四面体の体積$V$を求めよ．