2016　東北学院大学　後期工学部3月4日MathJax

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅰ)　$3$次方程式$x^3+4a{x}^2+5a^{2}x-16=0$が$x=2$を解にもつとする．$a$が整数のとき他の解は$\boxed{\text{(ア)}}$である．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅱ)　$({\log }_{2}3)\cdot ({\log }_{5}2)\cdot ({\log }_{7}5)={\log }_7\boxed{\text{(イ)}}$である．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅲ)　${(x+2+{\displaystyle \frac{3}{x}})}^4$を展開したときの$x^2$の係数は$\boxed{\text{(ウ)}}$である．

【２】　群数列

${\displaystyle \frac{1}{2}}|{\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{3}{4}}|{\displaystyle \frac{4}{5}},{\displaystyle \frac{5}{6}},{\displaystyle \frac{6}{7}}|{\displaystyle \frac{7}{8}},{\displaystyle \frac{8}{9}},{\displaystyle \frac{9}{10}},{\displaystyle \frac{10}{11}}|\cdots$

について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　第$6$群の最初の項と最後の項を書け．

(ⅱ)　第$m$群の最初の項を$m$を用いて表せ．

(ⅲ)　第$m$群の第$k$項から第$n$群の第$l$までの積を$m\text{，}n\text{，}k\text{，}l$を用いて表せ．ただし，$m<n\text{，}1\leqq k\leqq m\text{，}1\leqq l\leqq n$とする．

【３】　関数

$f(\theta )=2\cos \theta \sin 2\theta -2\sin \theta \sin 2\theta +4\sin 2\theta -4\cos \theta +4\sin \theta -3$

について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\sin \theta -\cos \theta =t$とおくとき，$f(\theta )$を$t$を用いて表せ．

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq \theta \leqq \pi$のとき，$t$の動く範囲を求めよ．

(ⅲ)　${\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq \theta \leqq \pi$のとき，$f(\theta )$の最小値およびそのときの$\theta$の値を求めよ．

【４】　関数$f_a(x)=x{e}^{ax}$（$a$は実数）について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a$の値により場合分けをして$y=f_a(x)$のグラフの概形を描け．

(ⅱ)　${\displaystyle {\int }_0^1}{f}_a(x)dx$を求めよ．

(ⅲ)　$y=f_a(x)$のグラフ，$x$軸および$x=1$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．