2016　学習院大学　経済学部MathJax

【１】　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

(1)　$n$を自然数とするとき，和

${\displaystyle \sum _{k=2n}^{3n}}(3k^2+5k-1)$

を$n$の整式として表せ．ただし，答えは$n$について降べきの順に整理すること．

【１】　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

(2)　${12}^{40}$は何桁の数であるか答えよ．ただし，整数は$10$進法で表すものとし，${\log }_{10}2=0.301\text{，}{\log }_{10}3=0.477$とする．

【２】　袋の中に，$1$から$6$までの番号が$1$つずつ書かれた$6$個の玉が入っている．袋から$6$個の玉を$1$つずつ取り出していき，$k$番目に取り出した玉に書かれた番号を$a_k$とする$\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}6\text{）．}$ただし，取り出した玉は袋に戻さない．

(1)　$a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6$が成り立つ確率を求めよ．

(2)　$a_6$が偶数であったとき，$a_1$が奇数である確率を求めよ．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．

【３】　曲線$C\text{：}y=x^3-x$上に，原点とは異なる点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{P}$での$C$の接線を$l$とし，$l$と$C$の交点で$\mathrm{P}$以外のものを$\mathrm{Q}$とする．さらに，原点を通り$l$に平行な直線を$m$とする．

(1)　$m$と$C$は相異なる$3$点で交わることを示せ．

(2)　$m$と$C$の原点以外の交点を$\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$とするとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{RS}}}$を求めよ．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．

【４】　連立不等式

$2x-y-2\geqq 0\text{，}x\leqq {\displaystyle \frac{5}{2}}\text{，}y\geqq 1$

の表す領域を$D$とする．点$\mathrm{P}(x,y)$が領域$D$を動くとき，${\displaystyle \frac{y}{x^2}}$の最大値と最小値を求めよ．また，それぞれの値を与える点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．