2016　学習院大学　法学部MathJax

【１】　三角形$\mathrm{ABC}$は鋭角三角形で，頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$とするとき，$a=2b\sin A$が成り立っている．

(1)　$\angle \mathrm{B}$の大きさを求めよ．

(2)　$a=3\sqrt{3}\text{，}c=5$のとき，$b$を求めよ．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．

【２】　すべての自然数$n$に対して

${\displaystyle \frac{n^3}{6}}-{\displaystyle \frac{n^2}{2}}+{\displaystyle \frac{4n}{3}}$

は整数であることを証明せよ．

【３】　$x$が実数全体を動くとき，関数$4\cos 2x-\cos x$の最大値と最小値を求めよ．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．

【４】　放物線$C\text{：}y=4-x^2$と$x$軸とで囲まれた部分を$D$とし，$D$の面積を$S$とする．

(1)　$S$を求めよ．

(2)　点$(-2,0)$を通り傾き${\displaystyle \frac{4}{5}}$の直線と$C$とで囲まれた部分の面積を$T$とする．$T$と${\displaystyle \frac{S}{2}}$の大小を判定せよ．

(3)　傾きが${\displaystyle \frac{4}{5}}$であり$D$の面積を$2$等分する直線を$L$とする．$L$の方程式を求めよ．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．