2016　学習院大学　数学科特別入試MathJax

【１】　表の出る確率が$p\text{，}$裏の出る確率が$1-p$であるコインがある．

(1)　このコインを$5$回繰り返して投げるとき，表がちょうど$3$回出る確率を$p$を用いて表せ．

(2)　このコインを$4$回繰り返して投げるとき，表が出る回数を$X$とする．$X=0$または$X=3$である確率を$s$とし，$X=2$である確率を$t$とするとき，$s<t$となるような$p$の値の範囲を求めよ．

【２】　複素数平面上で，

$2|z-2|=z+\bar{z}\leqq 4$

を満たす点$z$の全体の表す領域を$D$とする．

(1)　領域$D$を図示せよ．

(2)　領域$D$の面積を求めよ．

【３】　$a\text{，}t$を実数とし，それぞれ$a>0\text{，}0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすとする．$x$に関する$2$つの$2$次方程式

(1)　$x^2+(1-\sin t)x-a=0$

(2)　$x^2-(4+\cos 2t)x+3a+1=0$

を考える．方程式(1)の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とすると，$2{\alpha }^2\text{，}2{\beta }^2$はともに方程式(2)の解であるという．このとき，$a\text{，}t$の値の組を求めよ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(1)　定積分

${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x-1}{{(x-2)}^2}}dx$

を計算せよ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(2)　関数$y=x{e}^{-\frac{x^2}{2}}$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．