2016　慶応義塾大学　看護医療学部MathJax

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式などを解答欄に記入しなさい．

(1)　座標空間内の点$\mathrm{A}(1,1,1)\text{，}\mathrm{B}(2,-1,-1)\text{，}\mathrm{C}(-1,-2,-4)\text{，}\mathrm{D}(3,2,6)$に対して，三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{M}$とし，三角形$\mathrm{ABD}$の重心を$\mathrm{N}$とする．このとき，点$\mathrm{M}$の座標は$\boxed{\text{(ア)}}$である．また，線分$\mathrm{MN}$を$4:3$に外分する点の座標は$\boxed{\text{(イ)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式などを解答欄に記入しなさい．

(2)　$\alpha =-1+2i$とする．$x=\alpha$が$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の解であるような実数の組$(a,b)$は$(a,b)=\boxed{\text{(ウ)}}$である．また${\alpha }^5+2{\alpha }^4+3{\alpha }^3+4{\alpha }^2+5\alpha$の値は$\boxed{\text{(エ)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式などを解答欄に記入しなさい．

(3)　関数$f(x)$が$f(x)=2x^2+3x+{\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}}}f(t)dt$を満たすとき，$f(x)=\boxed{\text{(オ)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(4)　$3$個のさいころを同時に投げるとき，以下の確率を求めなさい．

(ⅰ)　出る目の最大値が$4$以下である確率は$\boxed{\text{(カ)}}$である．

(ⅱ)　出る目の最大値が$4$である確率は$\boxed{\text{(キ)}}$である．

(ⅲ)　出る目の最大値が$4$であるとき，少なくとも$1$個のさいころの目が$1$である確率は$\boxed{\text{(ク)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(1)　円$x^2+y^2-6x+12y+25=0$を$C_1$とし，中心が原点で，円$C_1$に外接する円を$C_2$とする．このとき円$C_2$の半径は$\boxed{\text{(ケ)}}$である．また$2$つの円$C_1\text{，}{C}_2$の共有点の座標は$\boxed{\text{(コ)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(2)　不等式$3^{2x}+1\ll 3^{x+2}+3^{x-2}$を解くと，$\boxed{\text{(サ)}}<x<\boxed{\text{(シ)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(3)　自然数$n$に対して$m\leqq {\log }_{2}n<m+1$を満たす整数$m$を$a_n$で表すことにする．このとき$a_{2016}=\boxed{\text{(ス)}}$である．また，自然数$k$に対して$a_n=k$を満たす$n$は全部で$\boxed{\text{(セ)}}$個あり，そのような$n$のうちで最大のものは$n=\boxed{\text{(ソ)}}$である．さらに${\displaystyle \sum _{n=1}^{2016}}{a}_n=\boxed{\text{(タ)}}$である．

（ヒント：$2^{10}=1024$）

【３】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数を解答欄に記入しなさい．

　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{BC}=9\text{，}\mathrm{CA}=9$とする．

　このとき$\cos \angle \mathrm{A}=\boxed{\text{チ}}$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径は$\boxed{\text{(ツ)}}$である．

　この三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の二等分線と三角形$\mathrm{ABC}$の外接円との交点で$\mathrm{A}$とは異なる点を$\mathrm{D}$とする．このとき$\angle \mathrm{BAD}$の大きさを$\theta$（ただし，$0\mathrm{°}<\theta <90\mathrm{°}$）とすると$\sin \theta =\boxed{\text{(テ)}}$であり，線分$\mathrm{BD}$の長さは$\boxed{\text{(ト)}}$である．また，四角形$\mathrm{ABDC}$の面積は$\boxed{\text{(ナ)}}$である．

【４】　$f(x)=x^3-3\left|x\right|$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　関数$y=f(x)$のグラフを解答用紙の所定の欄にかきなさい．

(2)　$f(x)+a=0$を満たす実数が$x$つであるような定数$a$の値の範囲を求めなさい．

(3)　曲線$y=f(x)+b$上の点$(-2,f(-2)+b)$における接線が原点を通るような定数$b$の値を求めなさい．また，その接線の方程式を求めなさい．

【５】　以下の問いに答えなさい．

(1)　 $x$を自然数とする．このとき，$x^2$を$4$で割ったときの余りは，$x$が偶数のときは$0$であり，$x$が奇数のときは$1$であることを証明しなさい．

(2)　自然数の組$(x,y)$について，$5x^2+y^2$が$4$の倍数ならば，$x\text{，}y$はともに偶数であることを証明しなさい．

(3)　自然数の組$(x,y)$で$5x^2+y^2=2016$を満たすものをすべて求めなさい．