2016　慶応義塾大学　商学部MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$k$を自然数とする．数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$\{S_n\}$が初項$k\text{，}$公比$k$の等比数列であるとする．

・$k=3$の場合，$a_n\geqq 5000$を満たすのは$n\geqq \boxed{\text{(1)}}$のときである．

・$a_n$が$100$の倍数となる$n$が存在するような$10$以下の自然数$k$は$\boxed{\text{(2)}}$つあり，このとき，$a_n$が$100$の倍数となるのは$n\geqq \boxed{\text{(3)}}$のときである．

【１】　以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\alpha$を$0\leqq \alpha \leqq 2\pi$を満たす定数とする．実数$t$が$0\leqq t\leqq 2\pi$の範囲で変化するとき，座標平面上の点$\mathrm{P}(\sin t,\sin (t+\alpha ))$の軌跡を$T$とする．

・$T$が線分となるような$\alpha$の値を解答用紙Bの(ア)の欄にすべて記せ．

・$T$が原点を中心とする円となるような$\alpha$の値を解答用紙Bの(イ)欄にすべて記せ．

【２】　$a$を正の実数，$b\text{，}c$を実数とする．$f(x)=a{x}^2+bx+c$とし，$f^{\prime }(x)$を$f(x)$の導関数とする．

(ⅰ)　放物線$y=f(x)$と直線 $y=f^{\prime }(x)$が接するための必要十分条件は

$b^2=\boxed{\text{(ウ)}}\cdots$(A)

である．

(ⅱ)　条件(A)が成り立つとき，その接点の座標は

$(\boxed{\text{(4)}}-{\displaystyle \frac{b}{\boxed{\text{(5)}}a}},\boxed{\text{(6)}}a)$

である．このとき，直線$y=f^{\prime }(x)$は放物線$y=-f(x)$とも接し，その接点$\mathrm{P}$の座標は

$(\boxed{\text{(7)}\text{(8)}}-{\displaystyle \frac{b}{\boxed{\text{(9)}}a}},\boxed{\text{(10)}\text{(11)}}a)$

である．

(ⅲ)　直線$y=f^{\prime }(x)$が原点を中心とする半径$\sqrt{2}$の円$O$と接するための必要十分条件は

$b^2=\boxed{\text{(エ)}}\cdots$(B)

である．この条件が成り立つとき，その接点を$\mathrm{Q}$とする．

(ⅳ)　条件(A)，(B)が成り立ち，さらに点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$と一致するのは，

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(12)}}}{\boxed{\text{(13)}}}}\text{，}b=\boxed{\text{(14)}\text{(15)}}\text{，}c={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(16)}}}{\boxed{\text{(17)}}}}$

のときである．このとき，円$O$は放物線$y=f(x)$とただ$1$つの共有点$(\boxed{\text{(18)}},\boxed{\text{(19)}})$をもち，放物線$y=f(x)\text{，}$直線$y=f^{\prime }(x)$および円$O$で囲まれた図形の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(20)}}}{\boxed{\text{(21)}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(22)}}}{\boxed{\text{(23)}}}\pi }$である．

【３】　球面$S\text{：}{x}^2-8x+y^2-4y+z^2+6z+20=0$は点$\mathrm{A}(\boxed{\text{(24)}},\boxed{\text{(25)}},\boxed{\text{(26)}})$で$xy$平面と接し，球面$S$と$zx$平面との交わりは中心$\mathrm{B}(\boxed{\text{(27)}},\boxed{\text{(28)}},\boxed{\text{(29)}\text{(30)}})\text{，}$半径$\sqrt{\boxed{\text{(31)}}}$の円である．

　球面$S$の中心を$\mathrm{C}\text{，}$線分$\mathrm{AB}$を$\sqrt{3}:2$に外分する点を$\mathrm{P}$とすると，$\mathrm{P}$の座標は

$(\boxed{\text{(32)}},\boxed{\text{(33)}}+\boxed{\text{(34)}}\sqrt{\boxed{\text{(35)}}},\boxed{\text{(36)}}+\boxed{\text{(37)}}\sqrt{\boxed{\text{(38)}}})$

であり，$\angle \mathrm{ACP}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(39)}}}{\boxed{\text{(40)}}}}\pi$（ただし$0\leqq \angle \mathrm{ACP}\leqq \pi$）である．また，三角形$\mathrm{BPC}$の辺および内部が球面$S$と交わってできる図形は，長さ${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(41)}}}{\boxed{\text{(42)}}}}\pi$の円弧である．

【４】　$3$つの袋$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$がある．袋$\mathrm{A}$には，$1$から$7$までの番号が書かれた玉がそれぞれ$2$個ずつ，計$14$個入っている．また，袋$\mathrm{B}\text{，}$袋$\mathrm{C}$には何も入っていない．以下，番号$i$が書かれた玉を「玉$i$」と呼ぶことにする．

　袋$\mathrm{A}$から無作為に玉を$1$個取り出して袋$\mathrm{B}$に入れる．ここで袋$\mathrm{B}$に入れられた玉を玉$i$とするとき，玉$i-1\text{，}$玉$i\text{，}$玉$i+1$のうち袋$\mathrm{A}$に入っているものをそれぞれ$1$個ずつ取り出して袋$\mathrm{C}$に入れる．この一連の操作を繰り返す．

　例えば，$1$回目の操作の最初に玉$\mathrm{7}$が袋$\mathrm{B}$に入れられたとする．このとき，袋$\mathrm{A}$には玉$\mathrm{6}$と玉$\mathrm{7}$は入っているが，玉$8$は入っていないので，玉$6$と玉$7$が$1$個ずつ袋$\mathrm{A}$から袋$\mathrm{C}$に移される．以上で$1$回目の操作が終り，袋$\mathrm{A}$に玉$1\text{，}1\text{，}2\text{，}2\text{，}3\text{，}3\text{，}4\text{，}4\text{，}5\text{，}5\text{，}6$の計$11$個が入った状態で$2$回目の操作を始める．

(ⅰ)　$1$回目の操作で玉$4$が袋$\mathrm{B}$に入れられたとき，$2$回目の操作で玉$\mathrm{5}$が袋$\mathrm{B}$に入れられる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(43)}}}{\boxed{\text{(44)}\text{(45)}}}}$である．

(ⅱ)　$1$回目の操作で玉$2$が袋$\mathrm{B}$に入れられ，かつ$2$回目の操作で玉$1$が袋$\mathrm{B}$に入れられる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(46)}}}{\boxed{\text{(47)}\text{(48)}}}}$である．

$1\leqq i<j\leqq 7$を満たす整数$i\text{，}j$に対し，$2$回の操作を行った後に袋$\mathrm{B}$に玉$i$と玉$j$が入っている事象を$B_{i,j}$とし，事象$B_{i,j}$の確率を$P(B_{i,j})$で表す．

(ⅲ)　$P(B_{1,2})={\displaystyle \frac{1}{7}}\times {\displaystyle \frac{\boxed{\text{(49)}}}{11}}+{\displaystyle \frac{1}{7}}\times {\displaystyle \frac{\boxed{\text{(50)}}}{10}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(51)}}}{110}}$である．同様に，

$P(B_{1,3})={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(52)}}}{\boxed{\text{(53)}\text{(54)}}}}\text{，}P(B_{1,7})={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(55)}}}{\boxed{\text{(56)}\text{(57)}}}}\text{，}$

$P(B_{2,3})={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(58)}}}{\boxed{\text{(59)}\text{(60)}}}}\text{，}P(B_{2,4})={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(61)}}}{\boxed{\text{(62)}\text{(63)}}}}$

である．

(ⅳ)　${}_{7}C_2$個の事象$B_{1,2}\text{，}{B}_{1,3}\text{，}\cdots \text{，}{B}_{6,7}$のうち，起こる確率が$P(B_{1,2})$であるものは$\boxed{\text{(64)}}$個，$P(B_{1,3})$であるものは$\boxed{\text{(65)}}$個，$P(B_{1,7})$であるものは$\boxed{\text{(66)}}$個，$P(B_{2,3})$であるものは$\boxed{\text{(67)}}$個，$P(B_{2,4})$であるものは$\boxed{\text{(68)}}$個である．

(ⅴ)　$3$回の操作の後，袋$\mathrm{B}$に入っている玉の番号が全て偶数となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(69)}}}{\boxed{\text{(70)}\text{(71)}}}}$である．