2016　慶応義塾大学　環境情報学部MathJax

【１】　以下の設問ではボールを取り出しても確率$\alpha$は変化しないものとする．

(1)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の$4$つの箱があり，$\mathrm{A}$の箱には$7$個の黒ボールと$3$個の白ボールが入っている．$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の箱にも黒ボールと白ボールが入っていて，どの箱においても$1$個を無作為に取り出したときに黒ボールである確率は$\alpha$である（$0<\alpha <1$）．また，少なくとも$3$個以上のボールがそれぞれの箱には入っている．このとき，$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の箱からそれぞれ$3$個のボールを無作為に取り出し$\mathrm{A}$の箱に加えた後，$\mathrm{A}$の箱から$1$個のボールを無作為に取り出したときにそれが黒ボールである確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(1)}\text{(2)}}}{\boxed{\text{(3)}\text{(4)}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(5)}\text{(6)}}}{\boxed{\text{(7)}\text{(8)}}}}\alpha$

である．

(2)　$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$の$4$つの箱があり，$\mathrm{E}$の箱には$7$個の黒ボールと$3$個の白ボールが入っている．$\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$の箱にも黒ボールと白ボールが入っていて，どの箱においても$1$個を無作為に取り出したときに黒ボールである確率は$\alpha$である（$0<\alpha <1$）．また，少なくとも$3$個以上のボールがそれぞれの箱には入っている．このとき，まず，$\mathrm{E}$と$\mathrm{F}$の箱からそれぞれ$3$個のボールを無作為に取り出し交換してもとの箱に戻し，次に，$\mathrm{E}$と$\mathrm{G}$の箱からそれぞれ$3$個のボールを無作為に取り出し交換してもとの箱に戻し，次に，$\mathrm{E}$と$\mathrm{H}$の箱からそれぞれ$3$個のボールを無作為に取り出し交換してもとの箱に戻した後，$\mathrm{E}$の箱から$1$個のボールを無作為に取り出したときにそれが黒ボールである確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(9)}\text{(10)}\text{(11)}\text{(12)}}}{10000}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(13)}\text{(14)}\text{(15)}}}{1000}}\alpha$

である．

【２】　図のような$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(2,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(2,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}(0,1,0)\text{，}$$\mathrm{D}(0,0,1)\text{，}$$\mathrm{E}(2,0,1)\text{，}$$\mathrm{F}(2,1,1)\text{，}$$\mathrm{G}(0,1,1)$を頂点とする直方体を，平面$x+y+z=\alpha \text{（}1<\alpha <3\text{）}$で切断したとき，その断面の面積$S$は

${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{(16)}}}}{\boxed{\text{(17)}}}}(\boxed{\text{(18)}\text{(19)}}{a}^2+\boxed{\text{(20)}\text{(21)}}a+\boxed{\text{(22)}\text{(23)}})$

となる．

　また，切断した断面の各頂点と$\mathrm{O}(0,0,0)$を結んでできる角錐の体積$V$は，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(24)}}+\sqrt{\boxed{\text{(25)}\text{(26)}}}}{\boxed{\text{(27)}}}}$のときに最大になる．このとき，$V={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(28)}\text{(29)}}+\boxed{\text{(30)}\text{(31)}}\sqrt{\boxed{\text{(32)}\text{(33)}}}}{\boxed{\text{(34)}\text{(35)}}}}$である．

【３】　$xy$平面上を動く中心$(0,p)\text{，}$半径$r\text{（}0<r<p\text{）}$の円$C_1$が，放物線$C_2\text{：}y=x^2$と異なる$2$点で，直線$l\text{：}y=q\text{（}q>p\text{）}$と$1$点で接している（直線$l$は円$C_1$と連動して動くものとする）．ここで$2$つの曲線が接するとは，交点における接線が一致することを意味する．このとき

$p=\boxed{\text{(36)}}{r}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(37)}}}{\boxed{\text{(38)}}}}$

であり，$r>{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(39)}}}{\boxed{\text{(40)}}}}$を満たす．また，放物線$C_2$と直線$l$の交点の$x$座標は

$\pm (\boxed{\text{(41)}}r+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(42)}}}{\boxed{\text{(43)}}}})$

である．このとき，放物線$C_2$と直線$l$で囲まれた領域の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(44)}}}{\boxed{\text{(45)}}}}{r}^3+\boxed{\text{(46)}}{r}^2+\boxed{\text{(47)}}r+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(48)}}}{\boxed{\text{(49)}}}}$

である．

【４】　座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(-2,4)\text{，}\mathrm{B}(4,2)$および$2$つの直線$l\text{：}x+y=1\text{，}m\text{：}x-y=3$が与えられている．

(1)　点$\mathrm{P}$が直線$l$上を動くとき，$\mathrm{AP}+\mathrm{PB}$が最小となる$\mathrm{P}$の座標は

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{(50)}\text{(51)}\text{(52)}}}{\boxed{\text{(53)}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(54)}\text{(55)}\text{(56)}}}{\boxed{\text{(57)}}}})$

である．

(2)　点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$がそれぞれ直線$l\text{，}m$上を動くとき，$\mathrm{AP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QB}$が最小となる$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標はそれぞれ

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{(58)}\text{(59)}}}{\boxed{\text{(60)}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(61)}\text{(62)}}}{\boxed{\text{(63)}}}})\text{，}({\displaystyle \frac{\boxed{\text{(64)}\text{(65)}}}{\boxed{\text{(66)}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(67)}\text{(68)}}}{\boxed{\text{(69)}}}})$

である．

【５】　実数$x$に対して，$[x]$は$x$以下の最大の整数を表すものとする．

(1)　数列$a_1={\displaystyle \frac{1}{[\sqrt{1}]}}\text{，}{a}_2={\displaystyle \frac{2}{[\sqrt{2}]}}\text{，}{a}_3={\displaystyle \frac{3}{[\sqrt{3}]}}\text{，}\cdots \text{，}{a}_n={\displaystyle \frac{n}{[\sqrt{n}]}}\text{，}\cdots$としたとき，$1$から$99$までの数$n$のうち$a_n$が整数になるものは$\boxed{\text{(70)}\text{(71)}}$個である．また，$a_n=10$と最初になるのは$n=\boxed{\text{(72)}\text{(73)}}$のときである．さらに，$S_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n}{a}_i$としたとき，$S_{99}=\boxed{\text{(74)}\text{(75)}\text{(76)}}$である．

(2)　数列$b_1={\displaystyle \frac{1}{[\sqrt[3]{1}]}}\text{，}{b}_2={\displaystyle \frac{2}{[\sqrt[3]{2}]}}\text{，}{b}_3={\displaystyle \frac{3}{[\sqrt[3]{3}]}}\text{，}\cdots \text{，}{b}_n={\displaystyle \frac{n}{[\sqrt[3]{n}]}}\text{，}\cdots$としたとき，$1$から$124$までの数$n$のうち$b_n$が整数になるものは$\boxed{\text{(77)}\text{(78)}}$個である．また，$b_n=10$と最初になるのは$n=\boxed{\text{(79)}\text{(80)}}$のときである．さらに，$T_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n}{b}_i$としたとき，$T_{124}=\boxed{\text{(81)}\text{(82)}\text{(83)}\text{(84)}}$である．

【６】　ある人が破産したときすなわち，借りているお金の一部分しか返すことができなくなったとき，その人の財産（現在残っているものをお金にしたもの）の総額$A$を$n$人の債権者（お金を貸した人）にどう分配するかについて考える．債権者には債権額（貸したお金の額）の少ない順に番号が振られており，第$i$番目の債権者の債権額を$B_i$とすると，$B_i<B_{i+1}\text{（}i=1\text{，}\cdots \text{，}n-1\text{）}$が成り立っている．また，$B={\displaystyle \sum _{i=1}^n}{B}_i$としたとき，$A<B$である．以下では$A=B$のときを含めて，第$i$番目の債権者の分配額$X_i$を，$B_i$の状況に応じて，次のルールに従って決める．

ケース１：$A\leqq {\displaystyle \frac{n}{2}}{B}_1$のときは，$X_i={\displaystyle \frac{1}{n}}A\text{（}i=1\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$とする．

ケース２：$1\leqq k\leqq n-1$に対して

${\displaystyle \frac{1}{2}}B-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \sum _{j=k}^n}(B_j-B_k)\leqq A\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}B-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \sum _{j=k+1}^n}(B_j-B_{k+1})$

のときは

$X_i=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{2}}{B}_i& \text{（}i=1\text{，}\cdots \text{，}k\text{）}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}{B}_k+{\displaystyle \frac{1}{n-k}}\{A-{\displaystyle \frac{1}{2}}B+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \sum _{j=k}^n}(B_j-B_k)\}& \text{（}j=k+1\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}\end{array}$

とする．

ケース３：$1\leqq k\leqq n-1$に対して

${\displaystyle \frac{1}{2}}B+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \sum _{j=k+1}^n}(B_j-B_{k+1})\leqq A\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}B+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \sum _{j=k}^n}(B_j-B_k)$

のときは

$X_i=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{2}}{B}_i& \text{（}i=1\text{，}\cdots \text{，}k\text{）}\\ B_i-{\displaystyle \frac{1}{2}}{B}_k-{\displaystyle \frac{1}{n-k}}\{{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \sum _{j=k}^n}(B_j-B_k)-A\}& \text{（}i=k+1\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}\end{array}$

とする．

ケース４：$B-{\displaystyle \frac{n}{2}}{B}_1\leqq A$のときは，$X_i=B_i-{\displaystyle \frac{1}{n}}(B-A)\text{（}i=1\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$とする．

(1)　$n=2\text{，}{B}_1=60\text{，}{B}_2=180$としたとき，$A$が$\boxed{\text{(85)}\text{(86)}\text{(87)}}\leqq A\leqq \boxed{\text{(88)}\text{(89)}\text{(90)}}$の範囲ならば，$X_1=30$となる．また，$X_2$が$X_1$の$4$倍となるのは，$A$の値が$2$通りあり，小さい順に$\boxed{\text{(91)}\text{(92)}\text{(93)}}$と$\boxed{\text{(94)}\text{(95)}\text{(96)}}$の場合である．

(2)　$n=3\text{，}{B}_1=60\text{，}{B}_2=90\text{，}{B}_3=180$としたとき，$A=100$ならば，$X_2=\boxed{\text{(97)}\text{(98)}\text{(99)}}\text{，}{X}_3=\boxed{\text{(100)}\text{(101)}\text{(102)}}$であり，$A=220$ならば，$X_2=\boxed{\text{(103)}\text{(104)}\text{(105)}}\text{，}{X}_3=\boxed{\text{(106)}\text{(107)}\text{(108)}}$である．