2016　慶応義塾大学　医学部MathJax

【１】　以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

(1)　定員$2$名，$3$名，$4$名の$3$つの部屋がある．

(ⅰ)　$2$人の教員と$7$人の学生の合計$9$人をこれらの$3$つの部屋に定員どおりに入れる割り当て方は$\boxed{\text{（あ）}}$とおりである．また，その割り当て方のなかで$2$人の教員が異なる部屋に入るようにする割り当て方は$\boxed{\text{（い）}}$とおりである．

(ⅱ)　$7$人の学生のみを，これらの$3$つの部屋に定員を越えないように入れる割り当て方は$\boxed{\text{（う）}}$とおりである．だだし誰も入らない部屋があってもよい．

【１】　以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．ただし設問(2)の空欄（え）には選択肢より適切な数を選んで記入しなさい．

(2)　二元一次不定方程式$13x+11y=c$は$c=\boxed{\text{（え）}}$のとき，$x>0\text{，}y>0$なる整数解をちょうど$1$組もつ．そのときの解は$(x,y)=(\boxed{\text{（お）}},\boxed{\text{（か）}})$である．

【１】　以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

(3)　すべての実数$m$に対して

$f(m)={\displaystyle {\int }_0^1}|e^x-m|e^{x}dx$

により定義される関数$f(m)$は，$m=\boxed{\text{（き）}}$において最小値$\boxed{\text{（く）}}$をとる．

【２】　以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

　三角形$\mathrm{ABC}$の頂点上に置かれた点$\mathrm{P}$に対する操作Tを考える．

　以下$n\text{，}m$を自然数とし，点$\mathrm{P}$を頂点$\mathrm{A}$上に置いて，操作Tを繰り返し行う．操作Tを$n$回繰り返し終えたとき，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$上に置かれている確率を$a_n\text{，}$頂点$\mathrm{B}$上に置かれている確率を$b_n\text{，}$頂点$\mathrm{C}$上に置かれている確率を$c_n$とする．

(1)　$n\geqq 2$のとき$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$を$a_{n-1}\text{，}{b}_{n-1}\text{，}{c}_{n-1}$で表すと

$\{\begin{array}{l}{a}_n=\boxed{\text{（あ）}}{a}_{n-1}+\boxed{\text{（い）}}{c}_{n-1}\\ b_n=\boxed{\text{（う）}}{a}_{n-1}+\boxed{\text{（え）}}{b}_{n-1}\\ c_n=\boxed{\text{（お）}}{b}_{n-1}+\boxed{\text{（か）}}{c}_{n-1}\end{array}$

である．

(2)　(1)より$a_n\text{，}{b}_n$を求めると，$a_{2m-1}=\boxed{\text{（き）}}\text{，}{b}_{2m-1}=\boxed{\text{（く）}}$であり，$a_{2m}=\boxed{\text{（け）}}\text{，}{b}_{2m}=\boxed{\text{（こ）}}$である．

(3)　操作Tを$n$回繰り返し終えたとき初めて点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$上に置かれる確率を$d_n$とすると，$d_n=\boxed{\text{（さ）}}$である．

(4)　操作Tを$n$回繰り返し終えたとき点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$または$\mathrm{B}$の上に置かれ，かつそれまでに$1$回だけ頂点$\mathrm{C}$上に置かれていた確率を$e_n$とすると，$e_n=\boxed{\text{（し）}}$である．

【３】　以下の文章の空欄に適切な式を入れて文章を完成させなさい．

　$l\geqq 1$を定数とし，座標空間の点$\mathrm{A}$は平面$z=-1$上を，点$\mathrm{B}$は平面$z=1$上を，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=l$をみたしつつ動くとする．ただし$\mathrm{O}$は座標空間の原点である．

(1)　$\angle \mathrm{AOB}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$となるように点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を選ぶことができるためには$l\geqq \boxed{\text{（あ）}}$であることが必要十分である．また，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$から$xy$平面へ垂線を下ろし，それぞれと$xy$平面との交点を${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }$とするとき，$\angle \mathrm{AOB}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$かつ$\cos \angle {\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{O}{\mathrm{B}}^{\prime }={\displaystyle \frac{2}{3}}$となるように点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を選ぶことができるのは$l=\boxed{\text{（い）}}$のときである．

(2)　$l=\boxed{\text{（い）}}$のとき，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の座標を$\mathrm{A}(0,\boxed{\text{（う）}},-1)\text{，}\mathrm{B}(\boxed{\text{（え）}},\boxed{\text{（お）}},1)\text{，}\mathrm{C}(\boxed{\text{（か）}},\boxed{\text{（き）}},\boxed{\text{（く）}})$とすると$\mathrm{OABC}$は正四面体をなす．ただし$\boxed{\text{（う）}}\text{，}\boxed{\text{（え）}}\text{，}\boxed{\text{（く）}}$はいずれも正とする．

　また，正四面体$\mathrm{OABC}$を平面$y+3z=t$で切ったときの切り口は$\boxed{\text{（け）}}<t<\boxed{\text{（こ）}}$のとき四角形となる．その四角形は上程と下底の和が$\boxed{\text{（さ）}}\text{，}$高さが$\boxed{\text{（し）}}$の台形であり，その面積は$l=\boxed{\text{（す）}}$のとき最大値$\boxed{\text{（せ）}}$をとる．

【４】　以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．また設問(3)に答えなさい．

　時間$t$とともに座標平面上を動く点$\mathrm{P}(t)$は次の条件(ⅰ)をみたすとする．

(ⅰ)　$\mathrm{P}(t)$は原点をとおらず，その偏角$\theta (t)$および原点からの距離$r(t)$は$t$について微分可能，かつ$r(0)=1$であり，さらに${\theta }^{\prime }(t)=1$が成り立つ．

(1)　動点$\mathrm{P}(t)$の座標を$(x(t),y(t))$とし，時刻$t$における$\mathrm{P}(t)$の速度ベクトル$\overrightarrow{v}=({\displaystyle \frac{dx}{dt}},{\displaystyle \frac{dy}{dt}})$とベクトル$\overrightarrow{b}=(\cos \theta (t),\sin \theta (t))$のなす角を$\alpha (t)$とする．このとき$\cos \alpha (t)$を$r(t)$を用いて表すと$\cos \alpha (t)=\boxed{\text{（あ）}}$である．

(2)　動点$\mathrm{P}(t)$がさらに次の条件(ⅱ)をみたすとする．

(ⅱ)　すべての$t$に対して$\alpha (t)={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$である．

このとき$r(t)=\boxed{\text{（い）}}$である．

(3)　条件(ⅰ)，(ⅱ)をみたす$2$つの動点${\mathrm{P}}_1(t)\text{，}$${\mathrm{P}}_2(t)$の間に次の条件(ⅲ)が成り立つとする．ただし動点${\mathrm{P}}_1(t)\text{，}$${\mathrm{P}}_2(t)$それぞれの偏角を${\theta }_1(t)\text{，}$${\theta }_2(t)\text{，}$原点からの距離を$r_1(t)\text{，}$$r_2(t)$とし，速度ベクトルを$\overrightarrow{v_1}(t)\text{，}\overrightarrow{v_2}(t)$とする．

(ⅲ)　すべての$t$に対してベクトル$\overrightarrow{v_1}(t)$とベクトル$\overrightarrow{v_2}(t)$は垂直である．

このとき時刻$s$から$u$の間に動点${\mathrm{P}}_2(t)$がその軌道に沿って動く道のりを$l(s,u)$とすると

$l(s,u)=\left|\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1(u){\mathrm{P}}_2(u)}\right|-\left|\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1(s){\mathrm{P}}_2(s)}\right|$

が成り立つことを示しなさい．ただし$s<u$とする．