2016　上智大学　TEAP文系2月3日実施MathJax

【１】

(1)　$1$から$777$までの整数で$4$の倍数のうち，$5$の倍数でも$6$の倍数でもない数は$\boxed{\text{ア}}$個あり，その総和の下$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$は$\boxed{\text{イ}}$である．ただし，$\boxed{\text{イ}}$について，十の位が$0$の場合は，解答欄の$10$の位は$0$をマークすること．

【１】

(2)　$a$を定数とし，

$f(x)=9^{x+\frac{1}{2}}-3^{x+\frac{3}{2}}+3a-1$

とする．方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$a$の範囲は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}<a<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．

【１】

(3)　次の$2$つの曲線$C_1$および$C_2$を考える．

$C_1\text{：}y=|x-1|(x+3)$

$C_2\text{：}y=|x+1|(-x+3)$

$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積は，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}+\boxed{\text{ケ}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}$

である．

【２】　$1$辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{DEFG}$を考える．正方形$\mathrm{OABC}\text{，}\mathrm{OAED}\text{，}\mathrm{OCGD}$がそれぞれ$xy$平面，$xz$平面，$yz$平面に重なるように，この立方体を座標空間上におく．

　点$\mathrm{P}$は，立方体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{DEFG}$の表面を移動し，原点$\mathrm{O}$を出発した後，移動距離が最短になるように点$\mathrm{D}$へ進んで停止する．ただし，$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AE}\text{，}\mathrm{BF}\text{，}\mathrm{CG}$（いずれも端点を含む）上の点をこの順に通過するものとする．$\mathrm{P}$が立方体の表面$\mathrm{BCGF}$上にある場合を考え，$\mathrm{P}$から直線$\mathrm{OF}$に垂線$\mathrm{PH}$を下ろす．

(1)　$\mathrm{P}$と$\mathrm{H}$の$z$座標をそれぞれ$v\text{，}w$とする．$a$が実数で$0\leqq a\leqq 1$のとき，$\mathrm{P}$の$x$座標が$a$ならば，$v\text{，}w$を$a$で表すと，

$v={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}a+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\text{，}w={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}a+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$

である．また，線分$\mathrm{PH}$の長さを$a$で表すと，

$\mathrm{PH}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}{a}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}a+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}}$

である．

(2)　$\mathrm{PH}$を最小にする$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{Q}$とするとき，$▵\mathrm{OQF}$の面積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$である．また，$\mathrm{O}$から$\mathrm{Q}$への$\mathrm{P}$の移動距離を$l\text{，}\mathrm{Q}$から$\mathrm{D}$への$\mathrm{P}$の移動距離を$m$とするとき，$l={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ヘ}}}$であり，${\displaystyle \frac{l}{m}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}}$である．

【３】(1)　${2016}_{(7)}$を$10$進法で表すと，$\boxed{\text{ミ}}$である．

(2)　$m$と$n$を整数とし，$2\leqq m<n\leqq 9$を満たすとする．また，これらの$m$と$n$について，

${10101}_{(n)}-{10101}_{(m)}$

を$10$進法で表した数を$k$とおく．

(ⅰ)　$k$が$21$の倍数となる$(m,n)$の組は，$\boxed{\text{ム}}$組ある．これらの組の中で$m+n$が最大になるのは，$m=\boxed{\text{メ}}\text{，}n=\boxed{\text{モ}}$のときである．

(ⅱ)　$m=\boxed{\text{メ}}\text{，}n=\boxed{\text{モ}}$とし，このときの$k$の値を$K$とする．$K$を$m$進法で表すとき，$m^2$の位の数字は$\boxed{\text{ヤ}}$である，また，$K$を$n$進法で表すとき，$n^2$の位の数字は$\boxed{\text{ユ}}$である．