2016　上智大学　TEAP理系2月3日実施MathJax

【１】(1)　自然数$n$に対して

${\displaystyle \sum _{i=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{n+i}}+{\displaystyle \sum _{j=1}^{2n}}{\displaystyle \frac{{(-1)}^j}{j}}=0$

が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

(2)　等式

${\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{{(-1)}^j}{j}}=-\log 2$

が成り立つことを証明せよ．

【２】　有理数とは，整数$a$と自然数$b$を用いて${\displaystyle \frac{a}{b}}$と表される実数のことであり，無理数とは有理数でない実数のことである．座標平面上の点で$x$座標も$y$座標も整数である点を格子点といい，座標平面上の点で$x$座標も$y$座標も有理数である点を有理点という．

(1)　次の条件を満たす直線を下の選択肢からすべて選べ．

(ⅰ)　格子点を$1$点だけ通る直線

(ⅱ)　どの格子点も通らないが，有理点を$2$点以上通る直線

(ⅲ)　どの格子点も通らないが，有理点を$1$点だけ通る直線

(ⅳ)　どの有理点も通らない直線

選択肢:

• A.　$2x+3y=0$
• B.　$2x-3y=1$
• C.　$4x+6y=3$
• D.　$x+\sqrt{3}y=3$
• E.　$\sqrt{2}x+3y=2$
• F.　$\sqrt{2}x-\sqrt{3}y=1$
• G.　$\sqrt{2}x+3y=\sqrt{2}$
• H.　$2\sqrt{2}x-\sqrt{3}y=\sqrt{2}$

(2)　上の(ⅳ)で選んだ直線がどの有理点も通らないことを証明せよ．ただし，(ⅳ)で選んだ直線が複数ある場合は，そのうちの$1$つについて証明せよ．また，$\sqrt{2}\text{，}\sqrt{3}$が無理数であることは用いてよい．

【３】　座標平面上に，半径$2$の円板$D$がある．はじめ，$D$の中心は$(0,2)$にあり，そのとき$D$上の定点$\mathrm{P}$は$(0,1)$にある．$D$が$x$軸に接しながら正の方向にすべることなく$1$回転するとき，$\mathrm{P}$が描く曲線を$C$とする．

(1)　$D$がはじめの位置から角度$\theta \text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$だけ回転したとき，$\mathrm{P}$の座標は

$(\boxed{\text{あ}}+\boxed{\text{ア}}\theta ,\boxed{\text{い}}+\boxed{\text{イ}})$

である．ただし，$\boxed{\text{あ}}\text{，}\boxed{\text{い}}$には，下の選択肢から当てはまるものを選べ．

選択肢：

(2)　曲線$C$と直線$y=2$で囲まれる部分の面積は$\boxed{\text{ウ}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}\pi$である．

(3)　$D$がはじめの位置から角度$\theta$だけ回転したときの$\mathrm{P}$における$C$の接線の傾きは，$\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}\pi$のとき最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}$をとる．

【４】(1)　自然数$n$に対して，複素数$z_n=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3^n}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3^n}}$を考える．

${\displaystyle \frac{z_2{z}_4\cdots z_{2n}}{z_1{z}_3\cdots z_{2n-1}}}=\cos \alpha +i\sin \alpha \text{（}-\pi <\alpha \leqq \pi \text{）}$

であるとき，

$\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}(1-3^{\boxed{\text{ス}}n})\pi$

である．

【４】(2)　集合$\{4^k|k=0,1,2,3,4,5,6\}$に属する異なる$2$個以上の整数の和として表される整数全体の集合を$S$とする．このとき，$S$の要素の中で$8$の倍数は全部で$\boxed{\text{セ}}$個ある．また，$S$のすべての要素の和を$8$で割ったときの余りは$\boxed{\text{ソ}}$である．

【４】(3)　$1$辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OAPB}‐\mathrm{CQSR}$において，辺$\mathrm{AQ}$を$t:(1-t)$に内分する点$\mathrm{T}$をとる．ただし，$0<t<1$とする．$\mathrm{T}$を通り直線$\mathrm{OS}$と垂直な平面でこの立方体を切ったときの断面を$D$とし，$D$と直線$\mathrm{OS}$の交点を$\mathrm{H}$とする．このとき

${\mathrm{TH}}^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}(t^2+\boxed{\text{ツ}}t+\boxed{\text{テ}})$

である．また，$D$の周上の点と$\mathrm{H}$の距離の最小値は，$0<t\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき

${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ト}}}}{\boxed{\text{ナ}}}}(t+\boxed{\text{ニ}})$

である．