2016　上智大学　総合人間(看護)学部2月4日実施MathJax

【１】　$a\text{，}b$を実数とする．$2$次関数

(F)　$y=x^2-(2a-6)x+(5-b)$

を考える．

(1)　$2$次関数(F)を$y={(x-p)}^2+q$の形に表すとき，

$p=\boxed{\text{ア}}a+\boxed{\text{イ}}$

$q=\boxed{\text{ウ}}{a}^2+\boxed{\text{エ}}a+\boxed{\text{オ}}-b$

である．

(2)　$2$次関数(F)のグラフが$x$軸と異なる$2$点で交わるための必要十分条件は，$b\boxed{\text{あ}}\boxed{\text{カ}}{a}^2+\boxed{\text{キ}}a+\boxed{\text{ク}}$である．

(3)　$2$次関数(F)のグラフが$x>0$の部分で$x$軸と接するための必要十分条件は，$b\boxed{\text{い}}\boxed{\text{ケ}}{a}^2+\boxed{\text{コ}}a+\boxed{\text{サ}}$かつ$a\boxed{\text{う}}\boxed{\text{シ}}$である．

(4)　すべての実数$a$に対して$2$次関数(F)のグラフが$x$軸と共有点をもつための，$b$に関する必要十分条件は，$b\boxed{\text{え}}\boxed{\text{ス}}$である．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=7\text{，}\mathrm{BC}=6\text{，}\mathrm{CA}=5$である．頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{AD}$を，頂点$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{CA}$に垂線$\mathrm{BE}$を，それぞれ下ろし，$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BE}$との交点を$\mathrm{H}$とする．また，$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{AP}$と$\mathrm{BE}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　$\mathrm{BD}=\boxed{\text{セ}}$である．

(2)　$\mathrm{AD}=\boxed{\text{ソ}}\sqrt{\boxed{\text{タ}}}$である．

(3)　$\mathrm{AH}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}\mathrm{HD}$である．

(4)　$\mathrm{BP}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$である．

(5)　$\mathrm{BQ}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}$である．

【３】(1)　ある地域でのウィルス$\mathrm{V}$の感染率は$0.1\mathrm{\%}$である．$\mathrm{V}$に感染しているかどうかを判定する検査を行ったとき，$\mathrm{V}$に感染しているのに誤って感染していないと判定される確率は$p$であり，$\mathrm{V}$に感染していないのに誤って感染していると判定される確率は$q$である．この検査を受けて感染していると判定されたとき，$\mathrm{V}$に感染している確率は，$p\text{，}q$の値に応じてそれぞれ次の範囲にあると考えられる．

(ⅰ)　$p$が$2\mathrm{\%}\text{，}q$が$2\mathrm{\%}$のとき：$\boxed{\text{お}}$

(ⅱ)　$p$が$1\mathrm{\%}\text{，}q$が$2\mathrm{\%}$のとき：$\boxed{\text{か}}$

(ⅲ)　$p$が$2\mathrm{\%}\text{，}q$が$1\mathrm{\%}$のとき：$\boxed{\text{き}}$

【３】(2)　$9$人の受験生に対して試験を行ったところ， 全員異なる点数で，点数の平均値が$65$点，中央値が$55$点であり，また，最高点が$90$点であった．次のうちで，このことから結論できるのは$\boxed{\text{く}}$である．

　ただし，点数は$0$以上$100$以下の整数とする．

X：$65$点以上の受験生は$5$人である．

Y：$55$点以上の受験生は$5$人である．

Z：最低点は$20$点である．

【３】(3)　右図のように$1$辺の長さが$1$の正方形を$4\times 4$に並べて中央の$4$つの正方形に$1$本ずつ対角線$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を引いた図において，図内の線上を通って点$\mathrm{P}$から点$\mathrm{Q}$に行く経路を考える．

(ⅰ)　$a$と$b$とを通って点$\mathrm{P}$から点$\mathrm{Q}$に行く経路のうち，最短の経路は$\boxed{\text{ネ}}$通りあり，そのときの経路の長さは$\boxed{\text{ノ}}+\boxed{\text{ハ}}\sqrt{2}$である．

(ⅱ)　$b$を通って点$\mathrm{P}$から点$\mathrm{Q}$に行く経路のうち，最短の経路は$\boxed{\text{ヒ}}$通りあり，そのときの経路の長さは$\boxed{\text{フ}}+\boxed{\text{ヘ}}\sqrt{2}$である．

(ⅲ)　$b$と$d$とを通って点$\mathrm{P}$から点$\mathrm{Q}$に行く経路のうち，最短の経路は$\boxed{\text{ホ}}$通りあり，そのときの経路の長さは$\boxed{\text{マ}}+\boxed{\text{ミ}}\sqrt{2}$である．

(ⅳ)　$a$または$c$の少なくとも一方を通って点$\mathrm{P}$から点$\mathrm{Q}$に行く経路のうち，最短の経路は，$\boxed{\text{ム}}$通りあり，そのときの経路の長さは$\boxed{\text{メ}}+\boxed{\text{モ}}\sqrt{2}$である．