2016　上智大学　総合人間(社会福祉),法(地球),経済(経営)学部2月7日実施MathJax

【１】

(1)　$1$から$6$までの目が等しい確率で出るさいころを$2$回投げる．$1$回目に出た目を$m\text{，}2$回目に出た目を$n$とする．

(ⅰ)　$9\leqq m+n\leqq 11$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

(ⅱ)　$m$が$1\leqq m\leqq 4$を満たすとき，$9\leqq m+n\leqq 11$となる条件つき確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．

【１】

(2)　関数$f(x)$を

$f(x)=16{({\log }_{9}x)}^3-48{({\log }_{81}x)}^2-24{\log }_9{\displaystyle \frac{x}{729}}-65$

とする．区間${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{9}}\leqq x\leqq 81$において，$f(x)$は$x=\boxed{\text{オ}}$で最大値$\boxed{\text{カ}}$をとり，$x=\boxed{\text{キ}}$で最小値$\boxed{\text{ク}}$をとる．

【１】

(3)　整式$P(x)$は，

$P(x^2)=(x^2+1)P(x)-x^2\text{，}P(2)=7$

を満たす．このとき，$P(5)=\boxed{\text{ケ}}$である．

【２】　$a$を$2$より小さい正の整数とする．$xy$平面上に点$\mathrm{A}(-a,0)$と点$\mathrm{B}(a,0)$をとる．原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円$C$の円周に沿った壁と，$x$軸上の線分$\mathrm{AB}$に沿った壁がある．ただし，壁の厚さは無視できるものとする．$p\text{，}q$を$0$以上の実数とし，円周上の点$\mathrm{P}(p,q)$に大きさの無視できる光源を置き，円の内側を照らす．このとき，壁$\mathrm{AB}$によってつくられる影のうち円$C$の弧の部分を$C^{\prime }$とする．

(1)　$a={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}\text{，}p=0$のとき，$C^{\prime }$の長さは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\pi$である．

(2)　$a=1$のとき，$C^{\prime }$の両端の点の$x$座標を$r\text{，}s\text{（}r<s\text{）}$とする．このとき，$r$を$s$で表すと，

$r={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{4p+\boxed{\text{ソ}}}}$

である．

(3)　$a=1\text{，}p=\sqrt{2}$のとき，$C^{\prime }$の長さを$2\alpha$とすると，$\tan {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}$である．

【３】　$k$を実数とする．$2$つの関数

$f(x)=|2x+1|x+2x+3\text{，}g(x)=2{(x+1)}^2+k(\left|x\right|-1)$

を考える．

(1)　$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフが

・異なる$3$つの交点をもつのは，$k<\boxed{\text{テ}}$または$\boxed{\text{テ}}<k\leqq \boxed{\text{ト}}$のときである．このうち，

(ⅰ)　$k<\boxed{\text{テ}}$または$\boxed{\text{テ}}<k\leqq \boxed{\text{ナ}}$のとき，交点の$x$座標は

$\boxed{\text{ニ}}\text{，}\boxed{\text{ヌ}}\text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}+k}{\boxed{\text{ノ}}}}$（ただし，$\boxed{\text{ニ}}<\boxed{\text{ヌ}}$）

である．

(ⅱ)　$\boxed{\text{ナ}}<k<\boxed{\text{ト}}$のとき，交点の$x$座標は

$\boxed{\text{ハ}}\text{，}\boxed{\text{ヒ}}\text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}+k}{\boxed{\text{ヘ}}-k}}$（ただし，$\boxed{\text{ハ}}<\boxed{\text{ヒ}}$）

である．

・異なる$2$つの交点をもつのは，$k=\boxed{\text{テ}}$または$k>\boxed{\text{ト}}$のときである．

(2)　$k=-5$のとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$によって囲まれた図形の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}}$である．